Intégration numérique

. Ces méthodes sont appelées méthodes de quadrature . Pour chaque méthode, on s'intéresse à son ordre, à l'étude de sa convergence et à l'étude de son erreur de convergence. On développe aussi quelques idées nécessaires à l'écriture d'un programme numérique pour le calcul de

I (f)

I-2 Notations et définitions

Intégration numérique → I Introduction → I-2 Notations et définitions

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Soit

f : [a, b] ⟶ ℝ

bornée et soit

σ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b}

une subdivision de

[a, b]

de pas

∣ σ ∣ = \sup_{0 \leq i \leq n} ∣ x_{i + 1} - x_{i} ∣

On pose:

m_{i} = \inf_{x \in] x_{i}, x_{i + 1} [} f (x), M_{i} = \sup_{x \in] x_{i}, x_{i + 1} [} f (x)

s_{σ} (f) = \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_{i + 1} - x_{i}) m_{i}, S_{σ} (f) = \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_{i + 1} - x_{i}) M_{i}

I_{+} (f) = \inf_{σ} S_{σ} (f), I_{-} (f) = \sup_{σ} s_{σ} (f)

Définition [Intégrale de Riemann]

La fonction

f

est dite Riemann intégrable si

I_{+} (f) = I_{-} (f)

. Dans ce cas, on note

I (f) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx

le réel

I_{+} (f) = I_{-} (f)

et on l'appelle l'intégrale de Riemann associée à

f

Remarque

Toute fonction continue par morceaux est Riemann intégrable.
Toute fonction monotone est Riemann intégrable.

I-3 Résultats fondamentaux

Intégration numérique → I Introduction → I-3 Résultats fondamentaux

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Proposition

f : [a, b] ⟶ ℝ

est Riemann intégrable, alors

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx = \lim_{∣ σ ∣ ⟶ 0} S_{σ} (f) = \lim_{∣ σ ∣ ⟶ 0} s_{σ} (f)

ou d'une manière équivalente

\forall ε > 0, \exists η > 0 tq \forall σ, ∣ σ ∣ < η ⟹ \begin{matrix} ∣ I (f) - S_{σ} (f) ∣ & \leq & ε \\ ∣ I (f) - s_{σ} (f) ∣ & \leq & ε \end{matrix}

Remarque

f : [a, b] ⟶ ℝ

est continue alors

\inf_{x \in] x_{i}, x_{i + 1} [} f (x) = \inf_{x \in [x_{i}, x_{i + 1}]} f (x) et \sup_{x \in] x_{i}, x_{i + 1} [} f (x) = \sup_{x \in [x_{i}, x_{i + 1}]} f (x)

Théorème

f : [a, b] ⟶ ℝ

est continue alors

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx = \lim_{n ⟶ + ∞} \frac{b - a}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} m_{i} = \lim_{n ⟶ + ∞} \frac{b - a}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} M_{i}

et d'une façon plus générale

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx = \lim_{n ⟶ + ∞} \frac{b - a}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} f (c_{i}) avec c_{i} \in [x_{i}, x_{i + 1}]

II Formules de quadrature et leur ordre

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

II-1 Idée de base

II-2 Méthode des rectangles à gauche

II-3 Méthode des rectangles à droite

II-4 Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

II-6 Méthode de Simpson

II-7 Méthode de Newton-Cotes

II-8 Ordre

II-1 Idée de base

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-1 Idée de base

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

La plupart des algorithmes numériques procèdent comme suit : on subdivise l'intervalle

[a, b]

en plusieurs sous-intervalles

σ = {a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b}

et on utilise le fait que

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx = \sum_{i = 0}^{n - 1} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) dx

De cette manière, on est amené au calcul de plusieurs intégrales pour lesquelles la longueur de l'intervalle d'intégration est relativement petite. Prenons une de ces intégrales, notons

h_{i} = x_{i + 1} - x_{i}

la longueur de l'intervalle et

g (t) = f (x_{i} + t h_{i})

. Un changement de variable nous donne alors:

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{x_{i}}^{x_{i + 1}} f (x) dx = h_{i} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt

Il reste alors à calculer une approximation de

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt

II-2 Méthode des rectangles à gauche

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-2 Méthode des rectangles à gauche

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt \approx g (0)

L'aire du domaine limité par les droites

x = 0, x = 1

, l'axe

Ox

𝒞_{g}

est approchée par l'aire du rectangle de base

[0, 1]

Exercice

Méthode du rectangle

II-3 Méthode des rectangles à droite

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-3 Méthode des rectangles à droite

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
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IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt \approx g (1)

L'aire du domaine limité par les droites

x = 0, x = 1

, l'axe

Ox

𝒞_{g}

est approchée par l'aire du rectangle de base

[0, 1]

II-4 Méthode du point milieu

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-4 Méthode du point milieu

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt \approx g (1 / 2)

L'aire du domaine limité par les droites

x = 0, x = 1

, l'axe

Ox

𝒞_{g}

est approchée par l'aire du rectangle de base

[0, 1]

Exercice

Méthode du point milieu

II-5 Méthode du trapèze

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-5 Méthode du trapèze

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt \approx 1 / 2 (g (0) + g (1))

L'aire du domaine limité par les droites

x = 0, x = 1

, l'axe

Ox

𝒞_{g}

est approchée par l'aire du trapèze de base

[0, 1]

II-6 Méthode de Simpson

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-6 Méthode de Simpson

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
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VII Exercices
Index

Traçons la parabole passant par les trois points

(0, g (0)), (1 / 2, g (1 / 2)), (1, g (1))

. En approchant l'intégrale par l'aire sous la parabole, on obtient la formule de Simpson :

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt \approx 1 / 6 (g (0) + 4 g (1 / 2) + g (1))

L'aire du domaine limité par les droites

x = 0, x = 1

, l'axe

Ox

𝒞_{g}

est approchée par l'aire grisée.

II-7 Méthode de Newton-Cotes

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-7 Méthode de Newton-Cotes

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On peut généraliser la méthode de Simpson en approchant l'intégrale par l'aire sous un polynôme de degré

s - 1

passant par les

s

points équidistants

((\frac{i}{s - 1}, g (\frac{i}{s - 1})), i = 0, \dots, s - 1),

on obtient des formules de quadrature appelées formules de Newton-Cotes données par la définition.

Définition

Une formule de quadrature est dite de Newton-Cotes à

s

étages si elle est de la forme:

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt \approx \sum_{i = 1}^{s} b_{i} g (c_{i}) .

Les

c_{i}

sont les noeuds de la formule de quadrature et les

b_{i}

sont les poids .

II-8 Ordre

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-8 Ordre

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II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

II-8-1 Définition

II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

II-8-3 Remarque sur l'ordre

II-8-4 Cas symétrique

II-8-1 Définition

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-8 Ordre → II-8-1 Définition

I Introduction
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- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
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VII Exercices
Index

Définition

On dit que l'ordre ordre d'une formule de quadrature de la formule de quadrature est

p

si elle est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à

p - 1

, c'est-à-dire: pour

g

polynôme de degré

\leq p - 1

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt = \sum_{i = 1}^{s} b_{i} g (c_{i})

On voit que les formules du point milieu et des trapèzes sont d'ordre 2. La formule de Newton-Cotes à

s

étages a un ordre

p

supérieur ou égal à

s

.
Le tableau suivant résume l'ordre ainsi que les poids des différentes méthodes de quadrature pour

s \leq 7 .

Tableau

s	ordre	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$b_{4}$	$b_{5}$	$b_{6}$	$b_{7}$	nom
1	1	1							rectangle
1	2	1							pt. milieu
2	2	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$						trapèze
3	4	$\frac{1}{6}$	$\frac{4}{6}$	$\frac{1}{6}$					Simpson
4	4	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$				Newton
5	6	$\frac{7}{90}$	$\frac{32}{90}$	$\frac{12}{90}$	$\frac{32}{90}$	$\frac{7}{90}$			Boole
6	6	$\frac{19}{288}$	$\frac{75}{288}$	$\frac{50}{288}$	$\frac{50}{288}$	$\frac{75}{288}$	$\frac{19}{288}$		Boole
7	8	$\frac{41}{840}$	$\frac{216}{840}$	$\frac{27}{840}$	$\frac{272}{840}$	$\frac{27}{840}$	$\frac{216}{840}$	$\frac{41}{840}$	Weddle

Exercice

Ordre d'une méthode de quadrature

II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-8 Ordre → II-8-2 Condition nécessaire et suffisante

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- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
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Index

Théorème

La formule de quadrature est d'ordre

p

si et seulement si:

\sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{q - 1} = \frac{1}{q}, pour q = 1, \dots, p

Preuve

La nécessité de l'équivalence ) est une conséquence de la formule ) si l'on pose

g (t) = t^{q - 1}

. Pour en montrer la suffisance, on utilise le fait qu'un polynôme de degré

p - 1

est une combinaison linéaire de

1, t, \dots, t^{p - 1}

et que l'intégrale

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} g (t) dt

ainsi que l'expression

\sum_{i = 1}^{s} b_{i} g (c_{i})

sont linéaires en

g

II-8-3 Remarque sur l'ordre

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-8 Ordre → II-8-3 Remarque sur l'ordre

I Introduction
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Remarque

En fixant les noeuds $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{s}$ (distincts), la condition avec $p = s$ représente un système linéaire pour $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}$
$(\begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ c_{1} & c_{2} & \dots & c_{s} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{1}^{s - 1} & c_{2}^{s - 1} & \dots & c_{s}^{s - 1} \end{matrix}) (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{s} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ ⋮ \\ \frac{1}{s} \end{matrix})$

Comme la matrice dans la formule est inversible (matrice de Vandermonde), la résolution de ce système nous donne une formule de quadrature d'ordre $p = s$ .
Si l'on vérifie les conditions pour la formule de Simpson, on fait une observation intéressante: par définition, il est évident que la condition est satisfaite pour $q = 1$ , $2$ , $3$ , mais on remarque qu'elle est aussi satisfaite pour $q = 4$ . En effet:
$\begin{matrix} \frac{1}{6} 0^{3} + \frac{4}{6} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{6} 1^{3} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{6} 0^{4} + \frac{4}{6} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{6} 1^{4} = \frac{5}{24} \neq \frac{1}{5} . \end{matrix}$
Elle est donc d'ordre 4. Par conséquent, elle n'est pas seulement exacte pour les polynômes de degré 2 mais aussi pour les polynômes de degré 3. Ceci est est une propriété qui peut être généralisée aux formules de quadrature symétriques (c'est-à-dire $c_{i} = 1 - c_{s + 1 - i}, b_{i} = b_{s + 1 - i}, \forall 1 \leq i \leq s$ ).

Coefficients et noeuds d'une formule de quadrature symétrique

II-8-4 Cas symétrique

Intégration numérique → II Formules de quadrature et leur ordre → II-8 Ordre → II-8-4 Cas symétrique

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- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
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VII Exercices
Index

Théorème

Une formule de quadrature symétrique a toujours un ordre pair: si elle est exacte pour les polynômes de degré

\leq 2 m - 2

, elle est exacte pour les polynômes de degré

\leq 2 m - 1

Preuve

Chaque polynôme

g (t)

de degré

\leq 2 m - 1

peut être écrit sous la forme

g (t) = c (t - \frac{1}{2})^{2 m - 1} + h (t)

où

h (t)

est un polynôme de degré

\leq 2 m - 2

et où

c

est une constante. Il suffit alors de montrer que la formule symétrique est exacte pour

(t - \frac{1}{2})^{2 m - 1}

. A cause de la symétrie de cette fonction, la valeur exacte vaut

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} (t - \frac{1}{2})^{2 m - 1} dt = 0

Pour une formule de quadrature symétrique on a

b_{i} (c_{i} - \frac{1}{2})^{2 m - 1} + b_{s + 1 - i} (c_{s + 1 - i} - \frac{1}{2})^{2 m - 1} = 0

Donc l'approximation numérique de

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} (t - \frac{1}{2})^{2 m - 1} dt

est également nulle.

III Mise en oeuvre sur Matlab

Intégration numérique → III Mise en oeuvre sur Matlab

I Introduction
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III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

III-1 Notations

III-2 Méthode des rectangles à gauche

III-3 Méthode des trapèzes

III-4 Méthode de Simpson

III-5 Commentaires des résultats

III-1 Notations

Intégration numérique → III Mise en oeuvre sur Matlab → III-1 Notations

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II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Ici nous allons exécuter sur Matlab quelques méthodes de quadrature classiques pour approcher la valeur de l'intégrale

I_{exa} = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{1}^{2} \frac{1}{t} dt = \log (2)

avec une subdivision de l'intervalle

[1, 2]

correspondante à

α_{i} = 1 + \frac{1}{N} i; 0 \leq i \leq N et N = 4 .

III-2 Méthode des rectangles à gauche

Intégration numérique → III Mise en oeuvre sur Matlab → III-2 Méthode des rectangles à gauche

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On note

I_{rg}

l'approximation de

I_{exa}

par la méthode des rectangles à gauche et

E_{rg}

l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule

I_{rg}

E_{rg}

:
Code Matlab

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg = 0.0;
for i = 1:N
    Irg = Irg + h*f(x(i));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg
Erg = abs(Iexa - Irg)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Les résultats obtenus par ce programme sont:

Irg = 7.595238095e-01
Erg = 6.637662896e-02

III-3 Méthode des trapèzes

Intégration numérique → III Mise en oeuvre sur Matlab → III-3 Méthode des trapèzes

I Introduction
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III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On note

I_{tr}

l'approximation de

I_{exa}

par la méthode des trapèzes et

E_{tr}

l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule

I_{tr}

E_{tr}

:
Code Matlab

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr = 0.0;
for i = 1:N
    Itr = Itr + h*(0.5*f(x(i)) + 0.5*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr
Etr = abs(Iexa - Itr)

Les résultats obtenus par ce programme sont:

Itr = 6.970238095e-01
Etr = 3.876628964e-03

III-4 Méthode de Simpson

Intégration numérique → III Mise en oeuvre sur Matlab → III-4 Méthode de Simpson

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On note

I_{si}

l'approximation de

I_{exa}

par la méthode de Simpson et

E_{si}

l'erreur commise. Voici un programme Matlab qui calcule

I_{si}

E_{si}

:
Code Matlab

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
N = 4;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi+h*(1/6*f(x(i))+2/3*f((x(i)+x(i+1))/2)+1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi
Es = abs(Iexa - Isi)

Les résultats obtenus par ce programme sont:

Isi = 6.931545307e-01
Esi = 7.350094585e-06

III-5 Commentaires des résultats

Intégration numérique → III Mise en oeuvre sur Matlab → III-5 Commentaires des résultats

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On voit bien que l'erreur absolue obtenue par la méthode de Simpson est beaucoup plus faible que celles obtenues par les deux autres. Ceci confirme la règle: plus l'ordre de la méthode est grand, plus la précision est bonne .

IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Pour étudier l'erreur commise en approchant une intégrale par l'une des formules de quadrature, nous commençons par une expérience numérique :

IV-1 Expérience numérique

IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur

IV-1 Expérience numérique

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-1 Expérience numérique

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

IV-1-1 Nombre d'évaluation

IV-1-2 Exemple

IV-1-3 Interprétation des résultats

IV-1-4 Justification des résultats

IV-1-1 Nombre d'évaluation

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-1 Expérience numérique → IV-1-1 Nombre d'évaluation

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Prenons une fonction

f

définie sur

[a, b]

, subdivisons l'intervalle en plusieurs sous-intervalles équidistants (

h = \frac{b - a}{N}

) et appliquons l'une des formules de quadrature du paragraphe précédent. Ensuite, étudions l'erreur (en échelle logarithmique),

\begin{matrix} E (f) & = & {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx - \sum_{j = 0}^{N - 1} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{x_{j}}^{x_{j + 1}} f (x) dx \\ = & {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx - \sum_{j = 0}^{N - 1} h {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} f (x_{j} + t h) dt \\ = & {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx - \sum_{j = 0}^{N - 1} h \sum_{i = 1}^{s} b_{i} f (x_{j} + c_{i} h), \end{matrix}

en fonction du nombre d'évaluations

f_{e}

de la fonction

f

pour Newton-Cotes :

f_{e}

est défini par:

f_{e} = N (s - 1) + 1

Le nombre

f_{e}

repésente une mesure pour le travail effectué par l'ordinateur.

IV-1-2 Exemple

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-1 Expérience numérique → IV-1-2 Exemple

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Voici les résultats obtenus par les formules de Newton-Cotes (trapèzes, Simpson, Boole) pour l'int'grale

I_{exa} = \sin (2) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{2} \cos (x) dx

N = 1, 2, 4, 8, 16, \dots

Code Matlab

clear all;
Iexa = sin(2);
alpha = 0;
beta = 2;
f = inline('cos(x)','x');
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode des trapèzes
%--------------------------
%--------------------------
s = 2;
for j = 1:1:10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
fetr(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr=0.0;
for i = 1:N
Itr = Itr + h*(1/2*f(x(i)) + 1/2*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Etr(j) = log10(abs(Iexa - Itr)) ;
end
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode de Simpson
%--------------------------
%--------------------------
s = 3;
for j=1:1:10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
fesi(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi+h*(1/6*f(x(i))+2/3*f((x(i)+x(i+1))/2)+1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Esi(j) = log10(abs(Iexa - Isi)) ;
end
%--------------------------
%--------------------------
% Méthode de Boole (s=6)
%--------------------------
%--------------------------
s = 6;
for j = 1:1:8
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
febo(j) = log10(N*(s-1) +1);
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ibo = 0.0;
for i = 1:N
Ibo = Ibo + h*(19/288*f(x(i)) + 75/288*f(x(i)+h/5) +
50/288*f(x(i)+(2*h/5)) + 50/288*f(x(i)+ (3*h/5)) +
75/288*f(x(i)+ (4*h/5)) + 19/288*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Ebo(j) = log10(abs(Iexa - Ibo)) ;
plot(fetr, Etr, 'k-.', fesi, Esi, 'k-+', febo, Ebo, 'k-*')
legend('Trapèzes', 'Simpson', 'Boole (s=6)')
xlabel('log10(Erreur)');
ylabel('log10(fe)');
title('Le travail fe en fonction de l''erreur');
end

La figure ci-dessous montre donne les résultats pour

N = 1, 2, 4, 8, 16 .

IV-1-3 Interprétation des résultats

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-1 Expérience numérique → IV-1-3 Interprétation des résultats

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Nous constatons que:

$\log_{10} (f_{e})$ dépend linéairement du nombre de chiffres exacts, donné par $- \log_{10} (E (\cos))$ .
La pente de chaque droite est $\frac{1}{p}$ où $p$ est l'ordre de la méthode de quadrature.
Pour un travail équivalent (même $f_{e}$ ), les formules avec un ordre élevé ont une meilleure précision.

IV-1-4 Justification des résultats

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-1 Expérience numérique → IV-1-4 Justification des résultats

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II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
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Index

Etudions d'abord l'erreur faite sur un sous-intervalle de longueur

h

\begin{matrix} E (f, x_{0}, h) & = & {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (x) dx - h \sum_{i = 1}^{s} b_{i} f (x_{0} + c_{i} h) \\ = & h ({\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} f (x_{0} + t h) dt - \sum_{i = 1}^{s} b_{i} f (x_{0} + c_{i} h)) . \end{matrix}

On considère la formule de quadrature d'ordre

p

. En supposant que

f

est suffisament différentiable, on peut remplacer

f (x_{0} + t h)

f (x_{0} + c_{i} h)

par les séries de Taylor au voisinage de

x_{0}

\begin{matrix} E (f, x_{0}, h) & = & \sum_{q \geq 0} \frac{h^{q + 1}}{q!} ({\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} t^{q} dt - \sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{q}) f^{(q)} (x_{0}) \\ = & \frac{h^{p + 1}}{p!} (\frac{1}{p + 1} - \sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{p}) f^{(p)} (x_{0}) + 𝒪 (h^{p + 2}) \end{matrix}

La constante définie par

C = \frac{1}{p!} (\frac{1}{p + 1} - \sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{p})

s'appelle constante de l'erreur. Si on suppose que

h

est assez petit pour négliger

𝒪 (h^{p + 2})

devant

C h^{p + 1}

, on obtient:

\begin{matrix} E (f) & = & \sum_{j = 0}^{N - 1} E (f, x_{j}, h) \approx {Ch}^{p} \sum_{j = 0}^{N - 1} h f^{(p)} (x_{j}) \approx {Ch}^{p} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f^{(p)} (x) dx \\ = & {Ch}^{p} (f^{(p - 1)} (b) - f^{(p - 1)} (a)) \end{matrix}

Cette formule nous permet de mieux comprendre les résultats de la figure précédente. En effet, on peut écrire

E (f) \approx C_{1} h^{p}

fe \approx \frac{C_{2}}{h}

. Par conséquent,

- \log_{10} (E (f)) \approx - \log_{10} (C_{1}) - p \log_{10} (h) \approx Constante + p \log_{10} (fe) .

Ceci montre la dépendance linéaire entre

\log_{10} (fe)

\log_{10} (E (f))

et le fait que la pente soit de

\frac{1}{p}

IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
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VII Exercices
Index

IV-2-1 Noyau de Peano

IV-2-2 Majoration de l'erreur

IV-2-1 Noyau de Peano

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur → IV-2-1 Noyau de Peano

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- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
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Index

Dans ce paragraphe on s'occupe de l'estimation exacte de l'erreur d'une formule de quadrature en vue de démontrer les théorèmes de convergence et assurer une certaine précision du résultat numérique.

Théorème [et Définition]

Soit une formule de quadrature d'ordre

p

et un entier

k

vérifiant

k \leq p

. Considérons une fonction

f : [x_{0}, x_{0} + h] ⟶ ℝ

de classe

𝒞^{k}

, alors l'erreur

E (f, x_{0}, h)

définie par la formule vérifie:

E (f, x_{0}, h) = h^{k + 1} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} N_{k} (s) f^{(k)} (x_{0} + s h) ds

où

N_{k}

est le noyau de Peano , défini par:

N_{k} (s) = \frac{(1 - s)^{k}}{k!} - \sum_{i = 1}^{s} b_{i} \frac{(c_{i} - s)_{+}^{k - 1}}{(k - 1)!} où r_{+}^{k - 1} = {\begin{matrix} r^{k - 1} & si & r > 0 \\ 0 & si & r \leq 0 \end{matrix}

Preuve

La formule de Taylor avec reste intégral appliquée à

f

au point

x_{0}

donne:

f (x_{0} + t h) = \sum_{j = 0}^{k - 1} \frac{(t h)^{j}}{j!} f^{(j)} (x_{0}) + h^{k} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{t} \frac{(t - s)^{k - 1}}{(k - 1)!} f^{(k)} (x_{0} + s h) ds

En combinant cette dernière formule avec la formule et en utilisant le fait que

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{t} (t - s)^{k - 1} g (s) ds = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} (t - s)_{+}^{k - 1} g (s) ds

et en remarquant que la partie polynomiale dans l'avant-dernière équation ne contribue pas à l'erreur (à cause que

p \geq k

), nous obtenons:

E (f, x_{0}, h) = h^{k + 1} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ({\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} \frac{(t - s)_{+}^{k - 1}}{(k - 1)!} dt - \sum_{i = 1}^{s} b_{i} \frac{(c_{i} - s)_{+}^{k - 1}}{(k - 1)!}) f^{(k)} (x_{0} + s h) ds .

Une évaluation de l'intégrale intérieure donne le résultat.

Remarque

Pour une formule de quadrature d'ordre

p

et un entier

k

vérifiant

1 \leq k \leq p

on a:

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} N_{p} (s) ds = \frac{1}{p!} (\frac{1}{p + 1} - \sum_{i = 1}^{s} b_{i} c_{i}^{p}) = C

où

C

est la constante de l'erreur définie par la formule .

Exemple

Les noyaux de Peano pour la méthode du point milieu sont donnés par:

N_{1} (s) = {\begin{matrix} - s & si & s < \frac{1}{2} \\ 1 - s & si & s \geq \frac{1}{2} \end{matrix} N_{2} (s) = {\begin{matrix} \frac{s^{2}}{2} & si & s \leq \frac{1}{2} \\ \frac{(1 - s)^{2}}{2} & si & s \geq \frac{1}{2} \end{matrix}

IV-2-2 Majoration de l'erreur

Intégration numérique → IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature → IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur → IV-2-2 Majoration de l'erreur

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VII Exercices
Index

Nous sommes maintenant en mesure d'estimer l'erreur commise pour l'intervalle

[a, b]

tout entier et ceci pour une subdivision arbitraire

h_{j} = x_{j + 1} - x_{j}

. Rappelons que, comme dans la formule , l'erreur est donnée par:

E (f) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} f (x) dx - \sum_{j = 0}^{N - 1} h_{j} \sum_{i = 1}^{s} b_{i} f (x_{j} + c_{i} h_{j}) .

On a alors le théorème suivant:

Théorème

Soit une formule de quadrature d'ordre

p

et un entier

k

vérifiant

k \leq p

. Considérons une fonction

f : [a, b] ⟶ ℝ

de classe

𝒞^{k}

. Alors l'erreur

E (f)

définie par la formule vérifie l'estimation suivante:

∣ E (f) ∣ \leq h^{k} (b - a) {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ∣ N_{k} (s) ∣ ds \max_{x \in [a, b]} ∣ f^{(k)} (x) ∣

où

h = \max_{j} (h_{j})

Preuve

La formule donne:

\begin{matrix} E (f, x_{0}, h) & \leq & h^{k + 1} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ∣ N_{k} (s) ∣ ∣ f^{(k)} (x_{0} + s h) ∣ ds \\ \leq & h^{k + 1} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ∣ N_{k} (s) ∣ ds \max_{x \in [x_{0}, x_{0} + h]} ∣ f^{(k)} (x) ∣ . \end{matrix}

Comme l'erreur est la somme des erreurs sur les sous-intervalles de la subdivision, nous obtenons:

\begin{matrix} ∣ E (f) ∣ \leq \sum_{j = 0}^{N - 1} ∣ E (f, x_{j}, h_{j}) ∣ & \leq & \sum_{j = 0}^{N - 1} h_{j}^{k + 1} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ∣ N_{k} (s) ∣ ds \max_{x \in [x_{j}, x_{j + 1}]} ∣ f^{(k)} (x) ∣ \\ \leq & \sum_{j = 0}^{N - 1} h^{k} h_{j} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ∣ N_{k} (s) ∣ ds \max_{x \in [a, b]} ∣ f^{(k)} (x) ∣ \end{matrix}

et puisque

\sum_{j = 0}^{N - 1} h_{j} = b - a

, on obtient l'équation .

Exemple

Pour la formule du point milieu, on a:

∣ E (f) ∣ \leq h^{2} (b - a) \frac{1}{24} \max_{x \in [a, b]} ∣ f^{″} (x) ∣ .

Pour la formule des trapèzes:

∣ E (f) ∣ \leq h^{2} (b - a) \frac{1}{12} \max_{x \in [a, b]} ∣ f^{″} (x) ∣ .

Pour la formule de Simpson:

∣ E (f) ∣ \leq h^{4} (b - a) \frac{1}{2880} \max_{x \in [a, b]} ∣ f^{(4)} (x) ∣ .

Pour la formule de Newton-Cotes (

s = 5

∣ E (f) ∣ \leq h^{6} (b - a) \frac{1}{1935360} \max_{x \in [a, b]} ∣ f^{(6)} (x) ∣ .

Remarque

Le calcul de

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ∣ N_{p} (s) ∣ ds

pour ces formules n'est pas difficile. Considérons par exemple la formule de Newton-Cotes avec

s = 5

. Nous constatons que

N_{6} (s)

ne change pas de signe sur

[0, 1]

et en utilisant la remarque , nous obtenons:

\begin{matrix} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} ∣ N_{6} (s) ∣ ds & = & {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} N_{6} (s) ds \\ = & \frac{1}{6!} ∣ \frac{1}{7} - (\frac{32}{90} {(\frac{1}{4})}^{6} + \frac{12}{90} {(\frac{1}{2})}^{6} + \frac{32}{90} {(\frac{3}{4})}^{6} + \frac{7}{90} 1^{6}) ∣ \\ = & \frac{1}{1935360} . \end{matrix}

Exercice

Noyau de Peano

V Exemples de calcul numérique de l'ordre

Intégration numérique → V Exemples de calcul numérique de l'ordre

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

V-1 Préliminaires

V-2 Méthode des rectangles à gauche

V-3 Méthode des trapèzes

V-4 Méthode de Simpson

V-1 Préliminaires

Intégration numérique → V Exemples de calcul numérique de l'ordre → V-1 Préliminaires

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II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Ici nous allons vérifier à l'aide de Matlab l'ordre de quelques méthodes de quadrature déjà étudiées précédemment pour approcher la valeur de l'intégrale

I_{exa} = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{α}^{β} f (t) dt

avec

f (t) = \frac{1}{t}, α = 1, β = 2

et une subdivision de plus en plus fine de l'intervalle

[α, β]

correspondante à

α_{i} = α + \frac{α - β}{N} i; 0 \leq i \leq N, et N = 2^{j}; 1 \leq j \leq 20 .

V-2 Méthode des rectangles à gauche

Intégration numérique → V Exemples de calcul numérique de l'ordre → V-2 Méthode des rectangles à gauche

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III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
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VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On note

I_{rg}

l'approximation de

I_{exa}

par la méthode des rectangles à gauche et

E_{rg}

l'erreur commise. On affiche les valeurs de

j

I_{rg}

E_{rg}

E_{rg} / h

, et

E_{rg} / h^{2}

. Code Matlab

clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %10d  %20.9e     %20.9e   %20.9e     %20.9e \n';
for j = 1:2:17
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Irg = 0.0;
for i = 1:N
Irg = Irg + h*f(x(i));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Irg
Erg = abs(Iexa - Irg) ;
Erg1 = abs(Iexa - Irg)/h ;
Erg2 = abs(Iexa - Irg)/h^2 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Irg, Erg, Erg1, Erg2);
end

Les résultats obtenus par ce programme sont:

j         Irg              Erg               Erg/h           Erg/h^2
1    8.333333333e-01   1.401861528e-01   2.803723055e-01  5.607446111e-01
3    7.253718504e-01   3.222466981e-02   2.577973585e-01  2.062378868e+00
5    7.010207083e-01   7.873527709e-03   2.519528867e-01  8.062492374e+00
7    6.951041202e-01   1.956939668e-03   2.504882775e-01  3.206249952e+01
9    6.936357002e-01   4.885196685e-04   2.501220703e-01  1.280625000e+02
11   6.932692658e-01   1.220852137e-04   2.500305176e-01  5.120625000e+02
13   6.931776991e-01   3.051850945e-05   2.500076294e-01  2.048062500e+03
15   6.931548100e-01   7.629452736e-06   2.500019072e-01  8.192062496e+03
17   6.931490879e-01   1.907352286e-06   2.500004788e-01  3.276806276e+04

Commentaires:
On constate que

E_{rg} / h

se stabilise autour de 2.5e-01 alors que

E_{rg} / h^{2}

explose au fur et à mesure que

j

augmente (les subdivisions de plus en plus fines). Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 1.

V-3 Méthode des trapèzes

Intégration numérique → V Exemples de calcul numérique de l'ordre → V-3 Méthode des trapèzes

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
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IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On note

I_{tr}

l'approximation de

I_{exa}

par la méthode des trapèzes et

E_{tr}

l'erreur commise. On affiche les valeurs de

j

I_{tr}

E_{tr}

E_{tr} / h

E_{tr} / h^{2}

, et

E_{tr} / h^{3}

.

Code Matlab

clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %10d  %12.9e     %12.9e   %12.9e   %12.9e     %12.9e \n';
for j = 1:2:17
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Itr = 0.0;
for i = 1:N
Itr = Itr + h*(0.5*f(x(i)) + 0.5*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Etr = abs(Iexa - Itr) ;
Etr1 = abs(Iexa - Itr)/h ;
Etr2 = abs(Iexa - Itr)/h^2 ;
Etr3 = abs(Iexa - Itr)/h^3 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Itr, Etr, Etr1 , Etr2, Etr3);
end

Les résultats obtenus par ce programme sont:

j       Itr            Etr            Etr/h         Etr/h^2      Etr/h^3
1    7.08333e-01    1.51862e-02    3.03723e-02    6.07446e-02   1.21489e-01
3    6.94122e-01    9.74670e-04    7.79736e-03    6.23789e-02   4.99031e-01
5    6.93208e-01    6.10277e-05    1.95289e-03    6.24924e-02   1.99976e+00
7    6.93151e-01    3.81467e-06    4.88278e-04    6.24995e-02   7.99994e+00
9    6.93147e-01    2.38418e-07    1.22070e-04    6.25000e-02   3.20000e+01
11   6.93147e-01    1.49012e-08    3.05176e-05    6.25000e-02   1.28000e+02
13   6.93147e-01    9.31321e-10    7.62938e-06    6.24999e-02   5.11999e+02
15   6.93147e-01    5.82108e-11    1.90745e-06    6.25033e-02   2.04811e+03
17   6.93147e-01    3.63654e-12    4.76648e-07    6.24752e-02   8.18875e+03

Commentaires:
On constate que

E_{tr} / h^{2}

se stabilise autour de 6.25e-02 alors que

E_{rg} / h^{3}

explose au fur et à mesure que

j

augmente. Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 2.

V-4 Méthode de Simpson

Intégration numérique → V Exemples de calcul numérique de l'ordre → V-4 Méthode de Simpson

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

On note

I_{si}

l'approximation de

I_{exa}

par la méthode de Simpson et

E_{si}

l'erreur commise. On affiche les valeurs de

j

I_{si}

E_{si}

E_{si} / h^{3}

E_{si} / h^{4}

, et

E_{si} / h^{5}

.
Code Matlab

clear all;
fid = 1;
fmt = '%% %3d  %12.5e  %12.5e  %12.5e  %12.5e  %12.5e \n';
for j = 1:1:10
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%      Donnees
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 2^j;
Iexa = log(2);
alpha = 1;
beta = 2;
h = (beta - alpha)/N;
x = [alpha:h:beta];
f = inline('1/x','x');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Corps du programme
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Isi = 0.0;
for i = 1:N
Isi = Isi + h*(1/6*f(x(i)) + 2/3*f((x(i) + x(i+1))/2) + 1/6*f(x(i+1)));
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Affichage des resultats
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Esi = abs(Iexa - Isi) ;
Esi3 = abs(Iexa - Isi)/h^3 ;
Esi4 = abs(Iexa - Isi)/h^4 ;
Esi5 = abs(Iexa - Isi)/h^5 ;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
fprintf(fid, fmt, j, Isi, Esi, Esi3 , Esi4, Esi5);
end

Les résultats obtenus par ce programme sont:

j       Isi           Esi          Esi/h^3       Esi/h^4      Esi/h^5
1    6.93254e-01   1.06788e-04   8.54302e-04   1.70860e-03   3.41721e-03
2    6.93155e-01   7.35009e-06   4.70406e-04   1.88162e-03   7.52650e-03
3    6.93148e-01   4.72259e-07   2.41797e-04   1.93437e-03   1.54750e-02
4    6.93147e-01   2.97299e-08   1.21774e-04   1.94838e-03   3.11740e-02
5    6.93147e-01   1.86151e-09   6.09979e-05   1.95193e-03   6.24619e-02
6    6.93147e-01   1.16398e-10   3.05130e-05   1.95283e-03   1.24981e-01
7    6.93147e-01   7.27574e-12   1.52583e-05   1.95307e-03   2.49992e-01
8    6.93147e-01   4.54081e-13   7.61822e-06   1.95026e-03   4.99268e-01
9    6.93147e-01   2.80886e-14   3.76999e-06   1.93024e-03   9.88281e-01
10   6.93147e-01   2.66454e-15   2.86102e-06   2.92969e-03   3.00000e+00

Commentaires:
On constate que

E_{si} / h^{4}

se stabilise autour de 1.95e-03 alors que

E_{si} / h^{5}

explose au fur et à mesure que

j

augmente. Ceci confirme le fait que cette méthode est d'ordre 4.

VI Bibliographie

Intégration numérique → VI Bibliographie

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Philipe G. Ciarlet. Introduction à l'analyse numérique et à l'optimisation . Dunod 1990.
Jean-Pierre Demailly. Analyse numérique et équations différentielles . Presses Universitaires de Grenoble, 1996.
Ernst Hairer. Introduction à l'analyse numérique . Université de Genève, section mathématiques, case postale 240. Octobre 2001.

VII Exercices

Intégration numérique → VII Exercices

I Introduction
II Formules de quadrature et leur ordre
III Mise en oeuvre sur Matlab
IV Etude de l'erreur d'une méthode de quadrature
- IV-1 Expérience numérique
- IV-2 Estimation rigoureuse de l'erreur
V Exemples de calcul numérique de l'ordre
VI Bibliographie
VII Exercices
Index

Exercice

Soit

f : [- 1, 1] ⟶ ℝ

une fonction de classe

𝒞^{2}

. On considère la méthode d'intégration numérique approchée donnée par

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} f (x) dx ≃ f (- w) + f (w), avec w \in [0, 1]

Calculer l'ordre de cette méthode en fonction de $w$ .
On se place dans le cas où cette méthode est d'ordre $1$ .
1. Calculer le noyau de Peano $G_{1} (t)$ et tracer le graphe de $G_{1}$ pour $w = \frac{5}{8}$ . Pour quelles valeurs de $w$ le noyau $G_{1}$ est-il de signe constant?
2. Montrer que l'erreur $E (f) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} f (x) dx - f (- w) - f (w)$ vérifie la majoration
  $∣ E (f) ∣ \leq C (w) \sup_{ξ \in [- 1, 1]} (∣ f ″ (ξ) ∣)$
  où $C (w)$ est une constante dont on déterminera la valeur optimale
  1. lorsque $G_{1}$ est de signe constant.
  2. lorsque $w = \frac{5}{8}$ .

Exercice

On rappelle que par construction, les méthodes de Newton-Cotes sont les formules de quadratures élémentaires de type

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} P (x) dx = \sum_{i = 0}^{n} λ_{iP} (x_{i})

telles que les noeuds

x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n - 1} < x_{n}

soient équidistants et centrés dans l'intervalle

[0, 1]

, les

λ_{i}

étant choisis de telle façon que ces formules soient exactes pour tout polynôme

P

de degré inférieur ou égale à

n

. Montrer que si

n

est pair ces formules sont aussi exactes pour les polynômes de degré

n + 1

. (Indication : on pourra remarquer que

λ_{i} = λ_{n - i}

et en tirer les conséquences pour les polynômes impairs.)

Exercice

Construire les formules d'intégration numérique suivantes :\

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} φ (s) ds ≃ φ (- 1 / 3) + φ (1 / 3), hbox exacte si φ \in 𝒫_{1};

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} φ (s) dx ≃ \frac{2}{3} (2 φ (- 1 / 2) - φ (0) + 2 φ (1 / 2)), hbox exacte si φ \in 𝒫_{3};

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} φ (s) ds ≃ \frac{1}{12} (11 φ (- 3 / 5) + φ (- 1 / 5) + φ (1 / 5) + 11 φ (3 / 5)), hbox exacte si φ \in 𝒫_{3}

Déterminer leur noyau de Peano et en déduire l'erreur commise.

Exercice

Montrer que
$\frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{b_{0}}{x} + b_{1} + \frac{b_{2}}{2!} x + \dots + \frac{b_{2 n}}{(2 n)!} x^{2 n - 1} + o (x^{2 n})$
(Indication : appliquer la formule d'Euler-MacLaurin à $e^{- x}$ entre $0$ et $1$ .)
Montrer que si $f \in 𝒞^{∞} (ℝ)$ est une fonction périodique de période $b - a$ , alors
$∣ T_{h} (f) - {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{af}^{b} (x) dx ∣ \leq C_{n} (f, a, b) h^{n}$
$\forall n \in ℕ$ et où $T_{h} (f)$ représente l'évaluation de la formule des trapèzes de pas $h$ pour $f$ sur $[a, b] .$

Exercice

Soient

x_{1}

x_{2}

deux points de

[- 1, 1]

λ_{1}

λ_{2} \in ℝ

. On considére la formule d'itégration suivante :

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} f (x) dx \approx λ_{1} f (x_{1}) + λ_{2} f (x_{2})

Quelles conditions doivent vérifier

x_{1}, x_{2}, λ_{1}

λ_{2}

pour que cette formule soit exacte pour

les fonctions constantes?
les fonctions affines?
les polynômes de degré inférieur ou égale à $2$ ?

Exercice

On considère la formule d'intégration suivante :

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} f (x) dx \approx kf (α) + f (β) (1)

Déterminer les valeurs de $k, α$ et pour que $(1)$ soit exacte sur $𝒫_{2}$ .
En déduire les valeurs de $k, α$ et pour que $(1)$ soit d'ordre le plus élevé possible.
1. Calculer le noyau de Peano dans le cas où $(1)$ est d'ordre $3$ et vérifier que ce noyau est une fonction paire.
2. En déduire qu'il existe $ξ \in] - 1, 1 [$ tel que $E (f) = \frac{1}{135} f^{(4)} (ξ)$ où $E (f)$ est l'erreur d'intégration.
3. Donner la formule d'intégration relative à $(1)$ sur $[a, b] .$
4. Estimer l'erreur d'intégration obtenue par la méthode composée associée à $(1)$ sur $[a, b]$ avec un pas constant $h = \frac{b - a}{n}$ .

Exercice

On considére la formule d'intégration suivante :

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{π} f (x) \sin (2 x) dx \approx a_{1} f (x_{1}) + a_{2} f (x_{2})

Déterminer $a_{1}, a_{2}, x_{1}$ et $x_{2}$ de sorte que cette formule soit exacte sur $𝒫_{3}$ .
Calculer alors l'ordre de cette méthode.

Exercice

Soit $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ . Montrer qu'il existe un polynôme $P$ unique de degré $2$ vérifiant:
$P (0) = f (0), P (1) = f (1) et P (\frac{1}{2}) = f (\frac{1}{2}) .$
Déterminer ${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} P (t) dt$ et la comparer à ${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} f (t) dt$ .
On considére ${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{0}^{1} \sin \frac{π t^{2}}{2} dt$ . On veut calculer cette intégrale avec une erreur inférieur à $10^{- 3}$ .
1. Déterminer le pas $h$ nécessaire pour la méthode des trapèzes.
2. Déterminer le pas $h$ nécessaire pour la méthode de Simpson.

Exercice

Trouver l'ordre des formule de : rectangle, trapèze et Simpson.
Pour $f \in 𝒞^{4} ([- 1, 1])$ . On pose
$E (f) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} f (x) dx - \frac{2}{6} [f (- 1) + 4 f (0) + f (1)] hbox et K_{3} (t) = E (x ⟶ (x - t)_{+}^{3})$
Montrer que $K_{3} (t) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{t}^{1} (x - t)^{3} dx - 2 (\frac{2}{3} t_{-}^{3} + \frac{1}{6} (1 - t)^{3})$ .
En déduire $K_{3} (t) = - \frac{1}{12} (1 - ∣ t ∣)^{3} (1 + ∣ t ∣)$ . Calculer par deux méthodes différentes ${\begin{array}{c} \int \end{array}}_{- 1}^{1} K_{3} (t) dt$ .
Enoncer le thérème de Peano et montrer que si $f \in 𝒞^{4} ([a, b])$ alors on a :
$∣ {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{af}^{b} (t) dt - \frac{h}{6} (f (a) + 2 \sum_{k = 1}^{n - 1} f (a_{k}) + 4 \sum_{k = 0}^{n - 1} f (a_{k} + \frac{b - a}{2 n}) + f (b)) ∣ \leq$

$\frac{(b - a)^{5}}{2880 n^{4}} \sup_{[a, b]} ∣ f^{4} (t) ∣$

document sur quelques méthodes d'intégration numérique (niveau licence).
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