OEF Champ de vecteurs
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les champs de vecteurs.
Champ de gradients
Soit la fonction
à valeurs réelles donnée par
C'est une fonction de
variables et le champ de gradient de
est une fonction de 
dans
Définissez le champ de gradient de
explicitement :
Champ linéaire I
Voici un champ de vecteurs (sur le dessin, la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). Le champ est de la forme
.
Calculer les coefficients manquants (ce sont des entiers).
xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black
Champ linéaire II
Voici un champ de vecteurs (la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). Le champ est de la forme
.
Calculer les coefficients manquants (ce sont des entiers).
xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black
Champ linéaire III
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
Voici un champ de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). On sait de plus que - du champ
de l'arc de cercle de rayon 1 d'angle entre 0 et
/2 est
égale
égal
à ; - du champ
de l'arc de cercle de rayon 1 d'angle entre /2 et est
égale
égal
à .
Calculer les coefficients
,
,
et
(ce sont des entiers).
Champ linéaire, divergence, rotationnel
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
Voici un champ de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). - du champ
de l'arc de cercle de rayon 1 d'angle entre 0 et /2 est
- du champ
de l'arc de cercle de rayon 1 d'angle entre /2 et est
.
Champ linéaire et rotationnel
Voici deux champs de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). Le rotationnel de ces champs est une fonction constante. Pour lequel le rotationnel est-il de norme la plus ?
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
Champ linéaire et divergence
Voici deux champs de vecteurs de la forme
(la longueur des vecteurs a été multipliée par un coefficient constant). La divergence de ces champs est une fonction constante. Pour lequel la divergence est-elle de norme la plus ?
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
animate 7,0.5,1 xrange -, + yrange -, + parallel -,-,+,-,0,/10,20,grey parallel -,-,-,+,/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,1,10,black arrow 0,0, 1, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black ellipse 0,0, animstep,animstep,magenta
Divergence, rotationnel, gradient
Soit
un
défini sur
, c'est donc une application
d'un ouvert
de
dans
.
L'expression a-t-elle un sens ?
En effet, l'expression a un sens et c'est une application de
à valeurs dans
.
Divergence, rotationnel, gradient 2
Soit
un
défini sur
, c'est donc une application
d'un ouvert
de
dans
.
L'expression ( F) a-t-elle un sens ?
L'expression ( F) est en effet définie et c'est une application de
à valeurs dans
.
Dans l'expression ( F), c'est l'opérateur de
qui n'est pas défini.
Gradient et rotationnel
On considère le champ vectoriel
sur
donné par
où
est un paramètre.
Calculer le rotationnel de
.
Le rotationnel de
est en effet égal à
. Donner les valeurs du paramètre
pour lesquelles
est un champ de gradients.
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