Longueur et intégrale curviligne

Objectifs

Documents

F. Liret et D. Martinais, Mathématiques pour le DEUG, Analyse 2ième Année (Dunod).
J. Stewart, Analyse, concepts et contextes, vol. 2, DeBoeck Université (2001)

Guide

Longueur d'une courbe paramétrée
Abscisse curviligne
Intégrale curviligne d'une fonction
Utilisation en physique
- Masse et centre de masse, moments d'inertie
- Optique

Longueur d'une courbe paramétrée

Exemple du segment

Exemple

La longueur d'un segment paramétré par

x = x_{i} + t a_{i}

y = y_{i} + t b_{i}

pour

t \in I = [t_{i}, t_{i + 1}]

est égale à

∣ t_{i + 1} - t_{i} ∣ . ∥ v_{i} ∥ = ∣ t_{i + 1} - t_{i} ∣ . (a_{i}^{2} + b_{i}^{2})^{1 / 2}

)

où

v_{i}

est le vecteur

(a_{i}, b_{i})

. Le vecteur

v_{i}

est aussi le vecteur dérivé de la fonction

t \mapsto

(x_{i} + t a_{i}, y_{i} + t b_{i})

. Ainsi, la longueur du segment s'écrit aussi

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{I} ∥ v (t) ∥ d t

où

v (t)

est le vecteur dérivé de la paramétrisation choisie du segment en

t

En général

Soit

C = γ : I \to ℝ^{2}

une courbe paramétrée :

{\begin{matrix} x = f (t) \\ y = g (t) \end{matrix}

, pour

t \in [a, b]

. Prenons une subdivision de l'intervalle [

a, b

] en

n

parties :

a = t_{0} < t_{1} < . . . < t_{n - 1} < t_{n} = b

Soit

γ_{t_{0}, . . ., t_{n}}

la ligne polygonale passant par les points

P_{i} = γ (t_{i}) = (f (t_{i}), g (t_{i}))

de la courbe

C

et notons

L_{n} = L (γ_{t_{0}, . . ., t_{n}})

la longueur de cette courbe.

Définition

On appelle longueur de la courbe

C

la borne supérieure

ℓ (C)

si elle existe des longueurs

L_{n}

des lignes polygonales inscrites

γ_{t_{0}, . . ., t_{n}}

Dessin . . . . . .

Dans le dessin,

le paramètre $t$ parcourt la ligne verte qui est subdivisée en parties (2, 3 ou 4). Il est lié par un fil vert pointillé au point vert $γ (t)$ de la courbe.
La ligne polygonale est tracée en rouge et la courbe en bleu.

Exemple

Une courbe et plusieurs paramétrages

Exemple

Vous pouvez choisir le nombre de subdivisions (mais pas la courbe !)
. .

Dans le dessin,

le paramètre $t$ parcourt la ligne verte qui est subdivisée en 4 parties. Il est lié par un fil vert pointillé au point vert $γ (t)$ de la courbe.
La ligne polygonale est tracée en rouge et la courbe en bleu.

Remarquer que

dans certains cas, cette ligne se confond presque avec la courbe;
dans d'autres cas, la courbe est en fait parcourue plusieurs fois;
que dans certains cas, la ligne polygonale est très éloignée de la courbe.

La ligne polygonale construite à partir de

n

points dépend non seulement de la courbe mais aussi du paramétrage. Voici encore quelques dessins pour s'en convaincre.

Une courbe et plusieurs paramétrages

Ici, ont été tracées des courbes paramétrées de paramètres

t

t_{1}

t_{2}

t_{3}

dont la représentation graphique est la même mais avec des paramétrages différents.

. . . . .

Les changements de paramétrage sont donnés en fonction du premier par

t_{1} = \frac{5 t + 1}{4 t + 1}

t_{2} = \frac{3 t - 2}{1 - t}

t_{3} = 2 \arctan (t)

Propriétés simples de la longueur

Dans le cas d'un segment, la définition qu'on vient de donner donne la longueur usuelle du segment.
Si $γ'$ est la restriction de $γ$ à un intervalle de $[a, b]$ ,
$ℓ (γ') \leq ℓ (γ)$ .
Si l'on met bout à bout deux arcs $γ$ et $γ'$ , la longueur de l'arc obtenu est la somme des longueurs des arcs $γ$ et $γ'$ .

Formule pour la longueur

Proposition

γ : [a, b] \to ℝ^{2}

est une courbe

C^{1}

, sa longueur existe et on a

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ γ' (t) ∥ d t

ou en notant

v = γ'

le vecteur vitesse,

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ v (t) ∥ d t

Exercices

Chemin en montagne
Longueur et projection

Démonstration

Formule pour la longueur

Proposition

γ : [a, b] \to ℝ^{2}

est une courbe

C^{1}

, sa longueur existe et on a

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ γ' (t) ∥ d t

ou en notant

v = γ'

le vecteur vitesse,

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ v (t) ∥ d t

Exercices

Chemin en montagne
Longueur et projection

Redémontrons analytiquement l'inégalité

L (γ_{t_{0}, . . . t_{n}}) \leq {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ γ' (t) ∥ d t

Preuve

On a

γ (t_{i}) - γ (t_{i - 1}) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{t_{i - 1}}^{t_{i}} γ' (t) d t

Donc, par l'inégalité triangulaire,

∥ γ (t_{i}) - γ (t_{i - 1}) ∥ \leq {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{t_{i - 1}}^{t_{i}} ∥ γ' (t) ∥ d t

Le premier terme est la longueur du segment

P_{i} P_{i + 1}

, en faisant la somme sur

i

, on obtient

L (γ_{t_{0}, . . . t_{n}}) \leq {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ γ' (t) ∥ d t

En particulier, l'ensemble des longueurs de lignes polygonales inscrites est un ensemble borné dont un majorant est

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ γ' (t) ∥ d t

La longueur existe à cause de la propriété fondamentale des réels:

Théorème

Toute partie majorée non vide de

ℝ

admet une borne supérieure.

Pour

t \in [a, b]

, soit

γ_{t}

la restriction de

γ

[a, t]

. Notons

L (t)

la longueur de

γ_{t}

. Nous allons montrer que

L

est dérivable et de dérivée

∥ γ' (t) ∥

, ce qui prouvera la proposition.

Proposition

γ : [a, b] \to ℝ^{2}

est une courbe

C^{1}

, sa longueur existe et on a

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ γ' (t) ∥ d t

ou en notant

v = γ'

le vecteur vitesse,

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} ∥ v (t) ∥ d t

Exercices

Chemin en montagne
Longueur et projection

Preuve

M_{t}

M_{t + h}

sont les points

γ (t)

γ (t + h)

L (t + h) - L (t)

est la longueur de l'arc qui joint

M_{t}

M_{t + h}

. On a alors un encadrement de cette longueur

\frac{M_{t} M_{t + h}}{h} = \frac{∥ γ (t + h) - γ (t) ∥}{h} \leq \frac{L (t + h) - L (t)}{h} \leq \frac{1}{h} {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{t}^{t + h} ∥ γ' (u) d u

Comme les deux membres extrêmes ont pour limite || gamma

'(t)|| quand

h

tend vers 0, on obtient bien que

L

est dérivable et de dérivée

∥ γ' (t) ∥

Calculs en coordonnées polaires

Soit une courbe

γ

donnée en coordonnées polaires

r, θ

par

r = f (θ)

pour

θ \in [θ_{0}, θ_{1}]

. En prenant

θ

comme paramètre, un paramétrage de

γ

est donnée par

{\begin{matrix} x = & f (θ) \cos (θ) \\ y = & f (θ) \sin (θ) \end{matrix}

Le vecteur dérivé s'exprime dans la base orthonormée directe

u_{r} = (\cos (θ), \sin (θ))

u_{θ} = (- \sin (θ), \cos (θ))

v (θ) = f' (θ) u_{r} + f (θ) u_{θ}

sa norme vaut

\sqrt{f' (θ)^{2} + f (θ)^{2}}

et on obtient la formule

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{θ_{0}}^{θ_{1}} \sqrt{f' (θ)^{2} + f (θ)^{2}} d θ

ou encore

L (γ) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{θ_{0}}^{θ_{1}} \sqrt{(\frac{d r}{d θ})^{2} + r^{2}} d θ

Exercices

Longueur d'une courbe en coordonnées polaires

Abscisse curviligne

Définition

Un paramétrage d'une courbe est une abscisse curviligne si le vecteur vitesse relatif à cette paramétrisation est unitaire.

Ainsi, la courbe est paramétrée par un paramètre

s

, d'équations

{\begin{matrix} x & = f (s) \\ y & = g (s) \end{matrix}

et on a

f' (s)^{2} + g' (s)^{2} = 1

.
On dit alors que la courbe est paramétrée par son abscisse curviligne.
L'abscisse curviligne est aussi, à une constante près et au signe près, la longueur de la courbe d'un point fixé au point de paramètre

s

Propriété

s

est une abscisse curviligne de la courbe paramétrée, la longueur de l'arc de courbe comprise entre le point de paramètre

s

et le point de paramètre

s_{0}

est égale à la valeur absolue de

s - s_{0}

On doit donc avoir :

s = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{t} ∥ γ' (u) ∥ d u + s_{0} .

Exemple du cercle

Exemple

La mesure de l'angle au centre sur un cercle (en radian) est une abscisse curviligne du cercle. Cela signifie que la longueur de l'arc de cercle de rayon 1 correspondant à un angle

u

en radians est exactement

u

Par contre, le paramétrage du cercle donné par

{\begin{matrix} x = & 2 t / (1 + t^{2}) \\ y = & (1 - t^{2}) / (1 + t^{2}) \end{matrix}

n'est pas une abscisse curviligne du cercle. La norme du vecteur dérivé est égale à

\frac{2}{1 + t^{2}}

. La longueur de l'arc de cercle compris entre les points de paramètre 0 et

a

est donnée par la formule

atan (a)

Intégrale curviligne d'une fonction

On partage l'intervalle [a,b] en

n

parties égales

a = t_{0} < . . . < t_{n} = b

, soit

P_{i} = (x_{i}, y_{i}) = (f (t_{i}), g (t_{i}))

le point de paramètre

t_{i}

et on note

Δ s_{i}

la longueur du segment

P_{i - 1} P_{i}

Définition

Soit

C

une courbe paramétrée et

F

une fonction définie sur

C

. L'intégrale curviligne de

F

le long de

C

est la limite si elle existe des

\sum_{i}^{n} F (x_{i}, y_{i}) Δ s_{i} = \sum_{i}^{n} F (P_{i}) Δ s_{i}

lorsque

n \to ∞

On la note alors

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} F d s = \lim_{∞} \sum_{i}^{n} F (P_{i}) Δ s_{i}

On démontre comme pour la longueur le théorème suivant :

Théorème

F

est une fonction continue, la limite précédente existe et vaut

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} F d s = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} F (f (t), g (t)) \sqrt{f' (t)^{2} + g' (t)^{2}} d t

Exercices

Intégrale curviligne d'une fonction formelle
Intégrale curviligne d'une fonction le long d'une ligne polygonale

Utilisation en physique

L'interprétation physiques de l'intégrale curviligne d'une fonction le long d'une courbe dépend de l'interprétation de cette fonction. Voici quelques exemples :

Masse et centre de masse, moments d'inertie
Optique

Masse et centre de masse, moments d'inertie

Supposons qu'un fil suive une courbe

C

et que la fonction

d (x, y)

en un point

(x, y, z)

C

représente sa densité linéique. Si

{\begin{matrix} x = & x (t) \\ y = & y (t) \end{matrix} t \in [a, b]

sont des équations paramétriques de la courbe

C

qui définisse une injection de

[a, b]

sur

C

, alors la masse totale du fil est donnée par

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} d (x, y) d s = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} d (x (t), y (t)) \sqrt{x' (t)^{2} + y' (t)^{2}} d t

Le centre de masse (centre de gravité) se trouve au point

G

de coordonnées

(x_{G}, y_{G})

avec

x_{G} = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} x F (x, y) d s = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} x (t) d (x (t), y (t)) \sqrt{x' (t)^{2} + y' (t)^{2}} d t

y_{G} = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C} y F (x, y) d s = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{a}^{b} y (t) d (x (t), y (t)) \sqrt{x' (t)^{2} + y' (t)^{2}} d t

Les moments d'inertie d'un fil s'expriment donc comme l'intégrale curviligne d'une fonction le long d'une courbe.

Exercices

Masse en dimension 2
Masse en dimension 3

Optique

Considérons un rayon lumineux dans un milieu ayant un indice de réfraction

n (x, y)

en un point

(x, y)

. Soit

v (x, y)

la vitesse (absolue) de la lumière au point

(x, y)

(c'est-à-dire la norme du vecteur vitesse). Si

c

est la vitesse de la lumière dans le vide, on a la relation

n (x, y) = \frac{c}{v (x, y)}

On suppose que le rayon lumineux va de

A

B

en suivant une courbe

C_{A B}

. Le temps que mettrait la lumière pour aller d'un point

A

à un point

B

en suivant la courbe

C

est donné par

T (C_{A B}) = {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C_{A B}} \frac{1}{v (x, y)} d s

où

s

est un paramétrage de

C

par son abscisse curviligne sur

C

.
On appelle chemin optique la distance qu'aurait parcouru, pendant la même durée, le rayon lumineux s'il se propageait dans le vide : le chemin optique le long de

C_{A B}

est donc donné par la formule

{\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C_{A B}} n (x, y) d s

Ce chemin optique de même que le temps dépend du chemin pris par la lumière. Bien sûr, la lumière à moins qu'on ne l'y oblige ne prend pas n'importe quel chemin. Le trajet effectivement suivi par un rayon lumineux entre deux points

A

B

est la courbe

C_{A B}

pour laquelle le chemin optique est extrémal parmi toutes les courbes allant de

A

B

.
On doit donc résoudre un problème d'extrémum sur l'espace de tous les chemins allant de

A

B

Exemple

n (x, y)

est constant égal à

n

, le chemin optique suivant la courbe

C_{A B}

est égal à

n {\begin{array}{c} \int \end{array}}_{C_{A B}} d s

et est proportionnel à la longueur de

C_{A B}

. On sait que le chemin de

A

B

de longueur minimale est le segment allant de

A

B

document sur la longueur de courbes et l'intégrale curviligne.
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