Déterminant

Guide

Le texte suivant introduit les déterminants en en donnant une construction puis donne quelques propriétés. On espère compléter ultérieurement la partie déterminant et systèmes linéaires.

Déterminant des matrices
Déterminant et vecteurs
Déterminant d'un endomorphisme
Déterminant et systèmes linéaires

Déterminant des matrices

Définition de l'application déterminant
Conséquences immédiates de la définition
Petits cas
Développement par rapport à une colonne
Démonstration de l'existence et de l'unicité
Matrice triangulaire
Matrice inversible et déterminant
Multiplicativité
Transposition
Exercices

Définition de l'application déterminant

Soit

M_{n, m} (K)

l'ensemble des matrices à coefficients dans un corps

K

(égal à

ℝ

ℂ

) ayant

n

lignes et

m

colonnes,

M_{n} (K)

l'ensemble des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients dans

K

. On note

$I_{n}$ la matrice identité d'ordre $n$
$A = ((a_{i j}))$ où $i$ est l'indice des lignes et $j$ l'indice des colonnes
$A_{1}, . . ., A_{n}$ ses $n$ colonnes : $A = (A_{1}, . . ., A_{n})$ .

Théorème

Il existe une unique application

det : M_{n} (K) \to K

, appelée déterminant vérifiant les propriétés suivantes

$(D_{1})$ pour tout $j = 1, . . ., n$ , pour tous $a$ et $b$ appartenant à $K$ , pour $A_{1}, . . ., A_{n}$ et $B_{j}$ des vecteurs colonnes,
$det (A_{1}, . . ., a A_{j} + b B_{j}, . . ., A_{n}) = a det (A_{1}, . . ., A_{j}, . . ., A_{n})$ + $b det (A_{1}, . . ., B_{j}, . . ., A_{n})$ .
$(D_{2})$ s'il existe un indice $j$ tel que $A_{j} = A_{j + 1} = B$ , $det (A_{1}, . . ., B, B, . . ., A_{n}) = 0$ .
$(D_{3})$ $det I_{n} = 1$ .

La propriété

(D_{2})

est vraie même si les colonnes ne sont pas à côté l'une de l'autre, nous le démontrons à partir des propriétés telles qu'elles ont été énoncés ici :

(D'_{2})

s'il existe des indices

j

k

tels que

A_{j} = A_{k} = B

det (A_{1}, . . ., B, . ., B, . . ., A_{n}) = 0

Conséquences immédiates de la définition

Échanger deux colonnes consécutives change le signe du déterminant.
$det (A_{1}, . . ., A_{j}, A_{j + 1}, . . ., A_{n}) = - det (A_{1}, . . ., A_{j + 1}, A_{j}, . . ., A_{n})$
Démonstration

$det (A_{1}, . . ., A_{j} + A_{j + 1}, A_{j} + A_{j + 1}, . . ., A_{n}) = 0$

d'après $(D_{2})$ .

$det (A_{1}, . . ., A_{j} + A_{j + 1}, A_{j} + A_{j + 1}, . . ., A_{n})$ = $det (A_{1}, . . ., A_{j} + A_{j + 1}, A_{j}, . . ., A_{n}) + det (A_{1}, . . ., A_{j} + A_{j + 1}, A_{j + 1}, . . ., A_{n})$ = $det (A_{1}, . . ., A_{j}, A_{j}, . . ., A_{n}) + det (A_{1}, . . ., A_{j + 1}, A_{j}, . . ., A_{n})$ + $det (A_{1}, . . ., A_{j}, A_{j + 1}, . . ., A_{n})$ + $det (A_{1}, . . ., A_{j + 1}, A_{j + 1}, . . ., A_{n})$

d'après $(D_{1})$ ,

= $det (A_{1}, . . ., A_{j + 1}, A_{j}, . . ., A_{n}) + det (A_{1}, . . ., A_{j}, A_{j + 1}, . . ., A_{n})$

d'après $(D_{2})$ .
Donc,
$det (A_{1}, . . ., A_{j + 1}, A_{j}, . . ., A_{n}) + det (A_{1}, . . ., A_{j}, A_{j + 1}, . . ., A_{n}) = 0$
S'il existe deux indices $j$ et $k$ différents tels que $A_{j} = A_{k} = B$ ,
$det (A_{1}, . . . B, . . ., B, . . ., A_{n}) = 0$ .

Si deux colonnes sont égales ou proportionnelles, le déterminant est nul.
Démonstration
En échangeant successivement la $i$ -ième colonne avec sa voisine de manière à l'amener à la place $j - 1$ , on se retrouve dans le cas où les deux colonnes égales sont côte à côte (d'après la propriété précédente, le signe a peut-être changé).
si $k \neq j$ ,
$det (A_{1}, . . ., A_{j}, . . ., A_{k}, . . ., A_{n}) = - det (A_{1}, . . ., A_{k}, . . ., A_{j}, . . ., A_{n})$ .

Échanger deux colonnes consécutives change le signe du déterminant.
Démonstration
On réapplique la même astuce que dans le premier cas, en utilisant
$det (A_{1}, . . ., A_{j} + A_{k}, . . ., A_{j} + A_{k}, . . ., A_{n}) = 0$
et en développant.
si $j \neq m$
$det (A_{1}, . . ., A_{j}, . . ., A_{m}, . . ., A_{n}) = det (A_{1}, . . ., A_{j} + A_{m}, . . ., A_{m}, . . ., A_{n})$ .

On ne change pas le déterminant en ajoutant à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.
Démonstration

$det (A_{1}, . . ., A_{j} + A_{m}, . . ., A_{m}, . . ., A_{n}) = det (A_{1}, . . ., A_{j}, . . ., A_{k}, . . ., A_{n})$ + $det (A_{1}, . . ., A_{m}, A_{m}, . . ., A_{n})$

d'après $(D_{1})$ ,

$= det (A_{1}, . . ., A_{j}, . . ., A_{m}, . . ., A_{n})$

d'après $(D_{2})$ .
Si $B = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} A_{i} = a_{1} A_{1} + . . . + a_{m} A_{m} + . . . + a_{n} A_{n}$
$a_{m} det (A_{1}, . . ., A_{m}, . . ., A_{n}) = det (A_{1}, . . ., B, . . ., A_{n})$
où $B$ est mis à la place de la $m$ -ième colonne.
Démonstration

$det (A_{1}, . . ., B, . . ., . . ., A_{n})$ = $det (A_{1}, . . ., a_{1} A_{1} + . . . + a_{m} A_{m} + . . . + a_{n} A_{n}, . . ., A_{n})$ = $det (A_{1}, . . ., a_{1} A_{1}, . . ., A_{n})$ +...+
$det (A_{1}, . . ., a_{m} A_{m}, . . ., A_{n})$
+...+ $det (A_{1}, . . ., a_{n} A_{n}, . . ., A_{n})$

d'après $(D_{1})$

= $det (A_{1}, . . ., a_{m} A_{m}, . . ., A_{n})$

d'après $(D_{2})$

= $a_{m} det (A_{1}, . . ., A_{m}, . . ., A_{n})$

Petits cas

Pour

n = 1

, on a nécessairement

det (a) = a

.
Pour

n = 2

, on a nécessairement

det

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

= det

(\begin{matrix} a + 0 & b \\ 0 + c & d \end{matrix})

= det

(\begin{matrix} a & b \\ 0 & d \end{matrix})

+ det

(\begin{matrix} 0 & b \\ c & d \end{matrix})

a

det

(\begin{matrix} 1 & b \\ 0 & d \end{matrix})

+ c det

(\begin{matrix} 0 & b \\ 1 & d \end{matrix})

a

( det

(\begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 0 \end{matrix})

+ det

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & d \end{matrix})

) + c (det

(\begin{matrix} 0 & b \\ 1 & 0 \end{matrix})

+det

(\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & d \end{matrix})

)

a (0 + d)

det

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

c

(

b

det

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

+ 0) =

a d - b c

Développement par rapport à une colonne

Lemme

Soit

A_{i j}

la matrice extraite de

A

obtenue en enlevant la

i

-ième ligne et la

j

-ième colonne. Alors,

det A = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} det A_{i j}

Idée de la démonstration

Faisons la démonstration pour le développement par rapport à la première colonne. On écrit

A_{1} = \sum_{i} a_{i 1} E_{i}

avec

E_{i}

le vecteur colonne formé de

0

sauf à la

i

-ième ligne où il y a

1

. On a grâce à

(D_{1})

det (A) = \sum_{i} a_{i 1} det (E_{i}, A_{2}, . . ., A_{n})

Regardons le terme

det (E_{i}, A_{2}, . . ., A_{n})

Par exemple, ici

i = 3

∣ \begin{matrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 1 & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ 0 & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} ∣

En faisant des manipulations sur les colonnes du type remplacer $A_{k}$ par $A_{k} - a_{i k} E_{i}$ , on obtient que

det (E_{i}, A_{2}, . . ., A_{n}) = det (E_{i}, {\tilde{A}}_{2}, . . ., {\tilde{A}}_{n})

où

{\tilde{A}}_{k}

est la colonne

A_{k}

où on remplace le

i

-ième élément par

0

Exemple

∣ \begin{matrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} ∣

On remarque alors que l'application qui à une matrice

B

d'ordre

n - 1

associe

det (E_{i}, {\hat{B}}_{1}, . . ., {\hat{B}}_{n - 1})

avec

\hat{B}

la matrice colonne obtenue à partir de

B

en rajoutant un

0

à la place

i

, vérifie les deux premières propriétés du déterminant et vaut

(- 1)^{i + 1}

sur l'identité

I_{n - 1}

. Donc

det (E_{i}, A_{2}, . . ., A_{n}) = (- 1)^{1 + i} a_{i 1} det A_{i 1}

Exemple

Dans l'exemple ci-dessous, par rapport à quelle colonne a-t-on développé ?

∣ \begin{matrix}  \end{matrix} ∣ =

Démonstration de l'existence et de l'unicité

Supposons par récurrence que l'existence et l'unicité de

\det

sont démontrés sur

M_{n - 1} (K)

avec

n > 1

. La fonction déterminant sur

M_{n - 1} (K)

est notée en vert :

det

.
Suposons l'existence de

det

sur

M_{n} (K)

et montrons son unicité.

Fixons deux entiers $i$ et $j$ . À une matrice $B = (b_{i j})$ de $M_{n - 1} (K)$ , on attache la matrice $B (i, j)$ obtenue en rajoutant une colonne à la place $i$ et une ligne à la place $j$ formées de 0 sauf à leur intersection où l'on met 1 :
Par exemple :
$B (2, 1) = (\begin{matrix} 0 & b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ 0 & b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{matrix})$
La fonction $B \to (- 1)^{i + j} det B (i, j)$ satisfait toutes les propriétés pour le déterminant sur $M_{n - 1} (K)$ et lui est donc égale : pour $D_{1}$ et $(D_{2})$ , faites-le ! le signe garantit la condition pour $(D_{3})$ , car d'après $(D_{1})$ , si on part de la matrice $Id (i, j)$ , après $∣ i - j ∣$ échanges de colonnes voisines, le coefficient $1$ arrive sur la diagonale et le signe est devenu 1.
Le faire par exemple pour
Id(2,1)= $(\begin{matrix} 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$
Par $(D_{1})$ et $(D_{3})$ (voir conséquences immédiates ), $det B i, j$ ne change pas si on met n'importe quel coefficient à la $i$ -ième ligne hors la $j$ -ième colonne.
Si la fonction $det$ existe pour $M_{n, n} (K)$ , on trouve par $(D_{1})$ la formule pour tout indice de ligne $i$ entre 1 et $n$ :
$det A = \sum_{j = 1}^{n}$ $(- 1)^{i + j} a_{i j} det A_{i j}$ .
où $A_{i j}$ est la matrice extraite, c'est-à-dire la matrice $A$ privée de sa $i$ -ième ligne et de sa $j$ -ième colonne. Le membre de droite est fait avec des déterminants d'ordre $n - 1$ dont on sait qu'ils existent et sont uniques par hypothèse de récurrence. Cela démontre l'unicité de $det$ sur $M_{n, n} (K)$ .

Démontrons l'existence de

det

sur

M_{n} (K)

Définissons une fonction sur

M_{n} (K)

provisoirement appelée

\det_{i}

par la formule

\det_{i} A = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} \det A_{i j}

(développement par rapport à la

i

-ième ligne) :

pour

i = 2

∣ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{matrix} ∣

(- 1)^{2 + 1} a_{21}

∣ \begin{matrix} a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\ a_{52} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{matrix} ∣

(- 1)^{2 + 2} a_{22}

∣ \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{53} & a_{54} & a_{55} \end{matrix} ∣

(- 1)^{2 + 3} a_{23}

∣ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} & a_{15} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{54} & a_{55} \end{matrix} ∣

(- 1)^{2 + 4} a_{24}

∣ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{15} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{35} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{45} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{55} \end{matrix} ∣

(- 1)^{2 + 5} a_{25}

∣ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ a_{51} & a_{52} & a_{53} & a_{54} \end{matrix} ∣

Elle vérifie

(D_{1})

: justification

Soit

k

l'indice de la colonne où l'on a remplacé

A_{k}

par

a A_{k} + b B_{k}

{\tilde{A}}_{i j}

la matrice extraite correspondant à la matrice

(A_{1}, . . ., B_{k}, . . . A_{n})

. Dans la somme définissant

\det_{i} A

a_{ik}

est remplacé par

a_{ik} + b_{ik}

A_{i k}

ne change pas ; par contre pour

j

différent de

k

a_{i j}

ne change pas et

\det_{i} A_{i j}

est remplacé par

\det A_{i j} + \det {\tilde{A}}_{i j}

en utilisant la propriété

(D_{1})

pour

\det

Elle vérifie

(D_{2})

: justification

Soit l'indice

k

tel que les colonnes d'indice

k

et d'indice

k + 1

soient égales. Les matrices extraites

A_{i j}

intervenant dans la formule ont toutes deux colonnes égales et sont donc nulles sauf les matrices extraites

A_{i k}

A_{i k + 1}

qui sont égales :

\det_{i} A = (- 1)^{i + k} a_{i k} \det A_{i k} + (- 1)^{i + k + 1} a_{i k} \det A_{i k + 1} = 0

Elle vérifie

(D_{3})

: justification

\det_{i} I_{n} = (- 1)^{j + j} \det I_{n - 1} = 1

L'unicité prouve de plus que les fonctions

\det_{i}

ainsi définies sont tous égales.

Matrice triangulaire

Théorème

A

est une matrice triangulaire inférieure, le déterminant de

A

est le produit de ses coefficients diagonaux

a_{i i}

: on a

det A = \prod a_{i i}

Démonstration

On raisonne par récurrence. On développe par rapport à la première colonne si la matrice est triangulaire supérieure et par rapport à la dernière colonne si la matrice est triangulaire inférieure.

Exemple

Le déterminant de

(\begin{matrix}  \end{matrix})

est égal à fois le déterminant de

(\begin{matrix}  \end{matrix})

Par récurrence, il vaut times

Matrice inversible et déterminant

Théorème

Le déterminant d'une matrice carrée

A

d'ordre

n

est nul si et seulement si le rang de

A

est strictement inférieur à

n

, c'est-à-dire si et seulement si

A

n'est pas inversible.

Démonstration :

Si $rg A < n$ , un des vecteurs-colonne de $A$ est combinaison linéaire des $n - 1$ autres. Donc $det A = 0$ .
Si $rg A = n$ , alors $A$ est inversible, on se ramène par des manipulations de colonnes (par la méthode des pivots) à une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont tous non nuls. A chaque transformation, le déterminant est multiplié par un scalaire non nul. Donc, $det A \neq 0$ .

Ainsi,

Théorème

Pour que

n

vecteurs d'un espace vectoriel de dimension

n

forment une base, il faut et il suffit que le déterminant de la matrice formée avec leurs composantes dans une base quelconque soit non nul.

La valeur absolue du déterminant d'une base a une interprétation géométrique si l'on utilise le produit scalaire naturels de l'espace vectoriel

ℝ^{n}

comme volume du parallépipède construit à partir de la base.

Multiplicativité

Théorème

A

B

sont deux matrices carrées d'ordre

n

;

det A B = det A det B

En particulier, si

A

est inversible,

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1} .

Démonstration :

B

n'est pas inversible,

A B

ne l'est pas non plus et on a bien

0 = 0

. Si

B

est inversible,

\det (B)

0. L'application

F : M_{n} (K)

K

définie par

F (A) = \frac{det A B}{det B}

vérifie toutes les propriétés du théorème-définition (exercice). Par unicité, on a donc

F (A) = det A

Transposition

Théorème

A^{t}

est la transposée

La transposée de la matrice

((a_{i j}))

est la matrice

((a_{j i}))

. Par exemple, la transposée de

(\begin{matrix}  \end{matrix})

est la matrice

(\begin{matrix}  \end{matrix})

de la matrice

A

det A = det A^{t}

On peut ainsi développer le déterminant par rapport à une ligne et les propriétés du théorème-définition restent vraies si on remplace les colonnes par les lignes.

Exercices

Des questions auxquelles il faut répondre très vite
Applications des règles de multilinéarité
Applications des règles de permutation
Applications de la multiplicativité
Produit
Calcul de déterminant I
Calcul de déterminant II
Calcul de déterminant "à la Gauss"
Déterminant paramétré
Déterminant paramétré
Déterminant et rang

Déterminant et vecteurs

Soit

E

un espace vectoriel de dimension

n

ℬ

une base.

Définition : Soit

(v_{1}, . . ., v_{n})

n

vecteurs. On appelle déterminant de

(v_{1}, . . . v_{n})

dans la base

ℬ

le déterminant de la matrice des composantes des

v_{i}

dans la base

ℬ

. On le note

\det_{ℬ} (v_{1}, . . ., v_{n})

Proposition

Le déterminant de

n

vecteurs dans une base dépend de la base :
Si

ℬ'

est une autre base, si

P

est la matrice de passage de

ℬ

ℬ'

, on a

$\det_{ℬ} (v_{1}, . . ., v_{n}) = \det (P) \det_{ℬ'} (v_{1}, . . ., v_{n})$

Produit mixte

Considérons un espace vectoriel

E

de dimension

n

muni d'un produit scalaire. Choisissons

ℬ_{0}

une base orthonormée.

Soit

ℝ^{n}

muni du produit scalaire

v \cdot v' = \sum_{i = 1} 5 x_{i} x_{i}'

où

v = (x_{i})

v' = (x_{1}', . . ., x_{n'})

. Dans ce cas, la base canonique

(e_{1}, . . ., e_{n})

est orthonormée, c'est-à-dire vérifie

e_{i} \cdot e_{j} = 1

i = j

et 0 sinon.

Théorème

Le déterminant de la matrice de passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée est égale à

1 .

Démonstration

La matrice de passage

P

vérifie

P P^{t} = Id

. Donc on a

\det (P)^{2} = 1

Une fois choisie une base orthonormée

ℬ_{0}

, le déterminant sépare les bases orthonormées en deux sous-ensembles :

celles telles que le déterminant de la matrice de passage de $ℬ_{0}$ est égal à 1 (on les appelle base orthonormée directe)
celles dont le déterminant de la matrice de passage de $ℬ_{0}$ est égale à -1 (on les appelle base orthonormée indirecte).

Définition

Soit

E

un espace vectoriel de dimension

n

muni d'un produit scalaire (euclidien) et d'une base orthonormée

ℬ_{0}

de référence. On appelle produit mixte de

n

vecteurs

v_{1}, . . ., v_{n}

(on note aussi

(v_{1}, . . ., v_{n})

) le déterminant de

v_{1}, . . ., v_{n}

dans la base

ℬ_{0}

ou ce qui revient au même dans toute base orthonormée directe.

Produit vectoriel

Soit un espace vectoriel

E

de dimension

n

muni d'un produit scalaire et d'une base orthonormée

ℬ_{0}

Définition : Soit

n - 1

vecteurs

v_{1}, . . ., v_{n - 1}

. On appelle produit vectoriel de

v_{1}, . . ., v_{n - 1}

l'unique vecteur noté

v_{1} \land . . . \land v_{n - 1}

tel que

$\det_{ℬ} (v_{1}, . . ., v_{n - 1}, w) = (v_{1} \land . . . \land v_{n - 1}) \cdot w$

pour tout vecteur

w

E

Un tel vecteur existe grâce au théorème suivant :

Théorème

Soit un espace vectoriel

E

de dimension

n

muni d'un produit scalaire. Soit

f

une forme linéaire de

E

dans

ℝ

. Alors, il existe une unique vecteur

a

dans

E

tel que

f (v) = a \cdot v

Exemple : Prenons

n = 2

: le produit vectoriel de $v$ est le vecteur déduit de

v

par une rotation d'angle

π / 2

: on doit en effet avoir

\det_{ℬ_{0}} (v, w) = v^{⊥} \cdot w

. Si les composantes de

v

w

v^{⊥}

dans la base

ℬ_{0}

sont respectivement

(a, b)

(x, y)

(c, d)

, on doit avoir

a y - b x = c x + d y

pour tous

x

y

dans

K

. Donc les composantes de

v^{⊥}

sont

(- b, a)

Produit vectoriel : propriétés

Les propriétés suivantes se déduisent de la définition et des propriétés du déterminant :

Soit $i$ un entier entre 1 et $n - 1$ . L'application $v_{i} \mapsto v_{1} \land . . . \land v_{n - 1}$ est linéaire :
$v_{1} \land . . . \land v_{i} + v'_{i} \land . . . \land v_{n - 1} = v_{1} \land . . . \land v_{i} \land . . . \land v_{n - 1} + v_{1} \land . . . \land v'_{i} \land . . . \land v_{n - 1}$

Définition : On dit que $(v_{1}, . . ., v_{n - 1} \mapsto v_{1} \land . . . \land v_{n - 1})$ est une forme $n - 1$ -linéaire.
$v_{1} \land . . . \land v_{i} \land . . . \land v_{j} \land . . . \land v_{n - 1} = - v_{1} \land . . . \land v_{j} \land . . . \land v_{i} \land . . . \land v_{n - 1}$

Définition : On dit que $(v_{1}, . . ., v_{n - 1} \mapsto v_{1} \land . . . \land v_{n - 1})$ est une forme $n - 1$ -linéaire alternée.
$v_{1} \land . . . \land v_{n - 1}$ est perpendiculaire à chacun des vecteurs $v_{j}$
Démonstration :
$v_{1} \land . . . \land v_{n - 1} \cdot v_{j} = \det (v_{1}, . . ., v_{n - 1}, v_{j})$
ce qui est nul par la propriété $(D 2')$ du déterminant
Le calcul des composantes du produit vectoriel de deux vecteurs en dimension 3 est une conséquence de la formule de développement par rapport à la dernière colonne : Si $w$ est de composantes $(w_{1}, . . ., w_{n})$ dans la base $ℬ_{0}$ et si $A$ est la matrice des vecteurs colonnes de $v_{1}, . . . v (n - 1)$ dans la base $ℬ_{0}$ , on a $v_{1} \land . . . \land v_{n - 1} \land w = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + n} \det (A^{(i)}) w_{i}$ où $A^{(i)}$ la matrice obtenue à partir de $A$ en enlevant la $i$ -ième ligne.
Si les vecteurs $(v_{1}, . . ., v_{n - 1})$ sont linéairement indépendants, $v_{1} \land . . . \land v_{n - 1}$ est non nul et la famille de vecteurs
$(v_{1}, . . ., v_{n - 1}, v_{1} \land . . . \land v_{n - 1})$
forment une base directe : le déterminant de ces vecteurs dans la base $ℬ_{0}$ est strictement positif .

Exercice : Retrouver toutes les propriétés du produit vectoriel que vous connaissez en dimension 3 comme conséquences des propriétés du déterminant.

Aire et déterminant

Théorème

Dans le plan, l'aire du parallélogramme formé à partir des vecteurs

v_{1}

v_{2}

est égale à la valeur absolue du déterminant de

v_{1}

v_{2}

Démonstration L'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs

(a, b)

(c, d)

est égale à

∣ a d - b c ∣

: calculons l'aire de la moitié de ce parallélogramme qui est un triangle

T

. Rappelons que l'aire d'un triangle ne change pas lorsqu'un des sommets se déplace sur une parallèle au côté opposé :

Il ne reste plus qu'à découper le triangle

T

en trois triangles et à déformer chacun d'entre eux sans en changer l'aire jusqu'à obtenir une figure remplissant la moitié d'un rectangle de côtés de longueur

a

b

(et donc d'aire

a b

) auquel on a enlevé un rectangle de côtés de longueur

c

d

donc d'aire

c d

. Magique !

Théorème

L'aire du parallélogramme formé à partir des vecteurs

v_{1}

v_{2}

est égale à la norme du produit vectoriel de

v_{1}

et de

v_{2}

Démonstration : Plaçons-nous dans le plan contenant les deux vecteurs

v_{1}

v_{2}

. L'aire

A

à calculer est égale au produit de la longueur du vecteur

v_{1}

et de la longueur

h

de la hauteur correspondante. Le vecteur

w

associé à cette hauteur est la projection de

v_{2}

sur la droite perpendiculaire à

v_{1}

. Si

w_{1} = (- b, a)

est le vecteur normal à

v_{1} = (a, b)

de même norme, on a donc

$h = ∥ w ∥ = ∣ v_{2} \cdot w_{1} ∣ = ∣ \det (v_{1}, v_{2}) ∣$

Théorème

Le volume du parallélépipède formé à partir des vecteurs

v_{1}

v_{2}

v_{3}

ℝ^{3}

est égal à la valeur absolue du déterminant de

v_{1}

et de

v_{2}

v_{3}

calculée dans une base orthonormée.

Démonstration : Le volume

V

est égal au produit de l'aire

A

du parallélogramme formé par les vecteurs

v_{1}

v_{2}

et de la longueur

H

de la hauteur du parallélépipède correspondante. Cette hauteur est par définition perpendiculaire au plan engendré par les vecteurs

v_{1}

v_{2}

. Si

w

est le vecteur représentant cette hauteur, il est donc colinéaire à

v_{1} \land w_{2}

et c'est la projection du vecteur

v_{3}

sur la droite engendrée par

v_{1} \land v_{2}

. Ainsi, on a

$H = ∣ v_{3} \cdot \frac{v_{1} \land v_{2}}{∥ v_{1} \land v_{2} ∥} ∣$

A = $∥ v_{1} \land v_{2} ∥$

$V = AH = ∣ v_{3} \cdot (v_{1} \land v_{2}) ∣ = ∣ \det (v_{1}, v_{2}, v_{3}) ∣$

Déterminant d'un endomorphisme

Soit

E

un espace vectoriel de dimension finie

n

f

un endomorphisme de

E

. Si

ℬ est une base de Unknown character (E), on note Unknown character ({Mat}_{ℬ}) la matrice repr Unknown character sentant Unknown character (f) dans la base Unknown character (ℬ

Définition Le scalaire

\det_{ℬ} ({Mat}_{ℬ} (f))

ne dépend pas de la base

ℬ

. On l'appelle le déterminant de

f

On applique la formule de changement de base : si

P

est la matrice de passage de la base

ℬ

à une base

ℬ'

${Mat}_{ℬ'} (f) = P^{- 1} {Mat}_{ℬ'} (f) P$

Par multiplicativité du déterminant,

$\det {Mat}_{ℬ'} (f) = \det (P)^{- 1} \det {Mat}_{ℬ'} (f) \det (P) = \det {Mat}_{ℬ'}$

Théorème

$\det (f \circ g) = \det (f) \det (g)$
$\det ({id}_{E}) = 1$
$f$ est un automorphisme de $E$ si et seulement si $\det (f)$ 0 et on a alors
$\det (f^{- 1}) = \det (f)^{- 1}$

Déterminant et systèmes linéaires

Soit un système linéaire

AX = B

n

inconnues et

n

équations. La matrice

A

est donc une matrice carrée d'ordre

n

Définition : Si

\det A

est non nul, le système est appelé système de Cramer.

Théorème

Un système de Cramer

AX = B

admet une solution unique donnée par les formules

$x_{i} = \frac{\det B_{j}}{\det A}$

avec

B_{j}

la matrice obtenue à partie de

A

en remplaçant la

j

-ième colonne par la colonne

B

Démonstration : Le système linéaire peut s'écrire en introduisant les colonnes de

A

$\sum_{j = 1}^{n} x_{j} A_{j} = B$

et on peut utiliser alors la formule

$\det (A_{1}, . . . ., B, . . . . A_{n}) = x_{j} \det (A_{i}, . . . ., A_{j}, . . . . A_{n})$

Exemple : Si

ad - bc

0, le système

${\begin{matrix} a x + b y & = & u \\ c x + d y & = & v \end{matrix}$

a une unique solution donnée par

$x$ = $\frac{∣ \begin{matrix} u & b \\ v & d \end{matrix} ∣}{∣ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} ∣}$ $y$ = $\frac{∣ \begin{matrix} a & u \\ c & v \end{matrix} ∣}{∣ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} ∣}$

On utilise aussi les déterminants dans le cas de systèmes linéaires qui ne sont pas de Cramer.

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