Loi d'une variable aléatoire discrète
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 21 exercices
autour de la loi d'une variable aléatoire réelle ne prenant qu'un nombre
fini ou dénombrable de valeurs.
- Les exercices "Sondage 2", "Suite aléatoire de lettres 2" et "Suite aléatoire de lettres 4" sont des exercices de modélisation qui ne demandent pas de connaitre la notion de variable aléatoire.
- Les exercices "Evénement défini par une v.a.", "Fonction de répartition d'une v.a.", "Moments et variance d'une v.a.", "Loi d'une fonction d'une v.a. discrète", "Loi conditionnelle d'une v.a." font travailler avec une v.a. dont la loi est décrite par un tableau.
- Les exercices "Fonction de répartition et loi", "Fonction de répartition et événement (I et II)" partent d'une loi discrète décrite par sa fonction de répartition.
- Les exercices "Calcul avec une loi de Poisson", "Descriptions de lois classiques discrètes", "Réalisation d'une v.a. discrète" et "Modèles classiques" font travailler sur quelques lois classiques sur les entiers : lois uniformes, lois de Bernoulli, lois binomiales, lois hypergéométriques, lois géométriques et lois de Poisson.
- L'exercice "Simulation d'une v.a. discrète" fait appel à une v.a. de loi uniforme sur (0,1).
Modèles classiques
.
On s'intéresse à la variable aléatoire
qui à une telle expérience associe .
Cocher la bonne réponse :
Description de lois classiques discrètes
1- Une variable aléatoire
de loi est à valeurs dans :
. NB : sélectionner la réponse la plus précise.
3- :
pour tout
,
=
Lancers de dés 1
On dispose d'un dé bien équilibré.
Calculer .
Lancers de dés 2
On dispose d'un dé bien équilibré.
Calculer .
Lancers de dés 3
On dispose d'un dé bien équilibré. On lance ce dé fois.
Calculer .
Lancers de dés 4
On dispose d'un dé bien équilibré. On lance ce dé fois.
Calculer .
Lancers de dés 5
On dispose d'un dé bien équilibré. On lance ce dé fois.
Si vous deviez parier sur le nombre de fois où le dé tombera sur , quel serait votre pari ?
Quelle est la probabilité que vous gagniez votre pari ?
Fonction de répartition et événement I
Le résultat d'une expérience aléatoire peut être décrite par une variable aléatoire
dont la fonction de répartition est donnée par la courbe en bleu ci-dessous :
On effectue cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité que l'événement { } se réalise ?
Fonction de répartition et événement II
Le résultat d'une expérience aléatoire peut être décrite par une variable aléatoire
dont la fonction de répartition est donnée par la courbe en bleu ci-dessous :
On effectue cette expérience aléatoire. Quelle est la probabilité que le résultat de l'expérience soit ?
Loi conditionnelle d'une v.a.
Une personne a effectué une expérience aléatoire dont le résultat peut être décrit par une variable aléatoire
; la loi de
est donnée par le tableau ci-dessous :
Cette personne nous dit que le résultat de l'expérience est un nombre .
On note
l'événement le résultat de l'expérience est un nombre .
Compléter le tableau ci-dessous pour qu'il décrive la loi conditionnelle de la variable aléatoire
sachant
t |
|
|
|
Fonction de répartition et loi
Le résultat d'une expérience aléatoire peut être décrite par une variable aléatoire
dont la fonction de répartition est donnée par la courbe en bleu ci-dessous :
1- Déterminer les valeurs qui ont une probabilité strictement positive d'être obtenues en effectuant cette expérience aléatoire (on séparera les valeurs par des virgules).
Bonne réponse : les valeurs possibles pour
sont bien .
2- Compléter le tableau ci-dessous pour qu'il décrive la loi de
|
|
|
|
Pile ou face
On jette une pièce de monnaie fois de suite. On suppose que la probabilité d'obtenir "pile" est à chaque lancer.
1. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement fois "pile" ?
Bonne réponse ! La probabilité d'obtenir exactement fois "pile" est .
Soit
la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où la pièce est tombée sur "pile" au cours de lancers.
2. Calculer l'espérance de cette variable aléatoire.
Bonne réponse !
.
3. Calculer la variance de cette variable aléatoire.
Réalisation d'une v.a. discrète
On a effectué une expérience aléatoire dont le résultat peut être décrit à l'aide d'une variable aléatoire
de loi . La réalisation obtenue de
est . Si on recommence cette expérience aléatoire dans les mêmes conditions, quelle est la probabilité d'obtenir une valeur ?
Simulation d'une v.a. discrète
Le tableau ci-dessous décrit la loi d'une variable aléatoire
| i <- | 1 |
| Tant que u > q(i) |
| i <- i + 1 |
| FinTantQue |
| Retourner e(i) |
Sondage 1
Quelqu'un interroge au hasard personnes différentes dans un groupe de personnes composées de
Sondage 2
Quelqu'un interroge au hasard personnes différentes dans un groupe de personnes composées de
Suite aléatoire de lettres 1
Une source émet une suite de lettres choisies indépendamment les unes des autres parmi les lettres , suivant la loi de probabilité décrite par le tableau :
Calculer .
Suite aléatoire de lettres 2
Une source émet une suite de lettres choisies indépendamment les unes des autres parmi les lettres , suivant la loi de probabilité décrite par le tableau :
Calculer .
Suite aléatoire de lettres 3
Une source émet une suite de lettres choisies indépendamment les unes des autres parmi les lettres , suivant la loi de probabilité décrite par le tableau :
Calculer .
Suite aléatoire de lettres 4
Une source émet une suite de lettres choisies indépendamment les unes des autres parmi les lettres , suivant la loi de probabilité décrite par le tableau :
Calculer .
Suite aléatoire de lettres 5
Une source émet une suite de lettres choisies indépendamment les unes des autres parmi les lettres , suivant la loi de probabilité décrite par le tableau :
Si vous deviez parier sur le nombre de fois où la lettre va être émise par la source, quel serait votre pari ?
Quelle est la probabilité que vous gagniez votre pari ?
Evénement défini par une v.a.
Le tableau ci-dessous décrit la loi d'une variable aléatoire
qui prend ses valeurs dans l'ensemble des entiers :
Calculer la probabilité de l'événement { } (écrire le résultat sous forme d'une fraction).
Loi d'une fonction d'une v.a. discrète
On considère une variable aléatoire
qui prend ses valeurs dans l'ensemble .
1- Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire
, c'est-à-dire les valeurs qui peuvent être prises avec une probabilité strictement positive (on séparera les valeurs par des virgules).
Bonne réponse : les valeurs possibles pour
sont bien
.
- Le tableau ci-dessous décrit la loi d'une telle variable aléatoire :
Déterminer la loi de la variable aléatoire
.
Moments et variance d'une v.a.
On considère une variable aléatoire
qui prend ses valeurs dans l'ensemble .
Calculer .
Fonction de répartition d'une v.a.
On considère une variable aléatoire
qui prend ses valeurs dans l'ensemble .
Calculer (écrire le résultat sous forme d'une fraction).
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- Description: collection d'exercices sur la loi d'une variable aléatoire ne prenant qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Plateforme WIMS d'exercices interactifs et gratuits à données aléatoires avec feedback et corrections automatiques de l'enseignement secondaire au supérieur hébergée par le rectorat de l'académie de Versailles
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