Calculs avec la loi normale

Introduction

Tous les calculs concernant la loi normale se font en utilisant la table fournie dans le formulaire du BTS.

La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est notée , et ses valeurs se lisent dans la table du formulaire.
Les calculs peuvent se répartir en deux catégories :

• On cherche à calculer une probabilité ; dans ce cas, on aura besoin, au cours du calcul, de faire une lecture directe de la table
• On connait une probabilité, et on cherche ... autre chose (très varié !) ; dans ce cas, ce sera une lecture inverse de la table.

On cherche une probabilité

Lecture directe de la table

Si $T$ est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite : $calN$(0,1), on a : $\Pi (t)=P(T\le t)$
Loi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture directe de la table
Les calculs concernant toutes les lois normales se font tous en se ramenant à la loi normale centrée réduite.
En effet, si $X$ suit la loi $calN$(m,), alors $T={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$ suit la loi $calN$(0,1).
Loi normale ; calculs utilisant la lecture directe de la table

On connait une probabilité et on cherche autre chose...

Lecture inverse de la table

Loi normale centrée réduite ; calculs utilisant la lecture inverse de la table

Loi normale ; calculs utilisant la lecture inverse de la table

Synthèse

Exercice de type BTS

Lecture directe de la table

Valeurs positives

Lire dans la table la valeur de $\Pi (1.83)$.

La valeur de $\Pi (1.83)$ se trouve dans la table à l'intersection de la ligne 1.8 et de la colonne 0.03.
On trouve donc : $\Pi (1.83)=0.9664$

Valeurs négatives

On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne : $\Pi (-t)=1-\Pi (t)$

Lire dans la table la valeur de $\Pi (-0.8)$.

$\Pi (-0.8)=1-\Pi (0.8)$

La valeur de $\Pi (0.8)$ se trouve dans la table à l'intersection de la ligne 0.8 et de la colonne 0.

On trouve donc : $\Pi (-0.8)=1-\Pi (0.8)=1-0.7881=0.2119$

Exercice

Loi normale centrée réduite (calculs directs)

Formules à utiliser :

$p(T\le a)$ = $\Pi (a)$
$p(T\ge a)$ = $1-\Pi (a)$
$p(a\le T\le b)$ = $\Pi (b)-\Pi (a)$
$p(-a\le T\le a)$ = $2\Pi (a)-1$
$\Pi (-a)$ = $1-\Pi (a)$

Exemples de calculs variés

T suit la loi (0 ; 1). Calculer $p(-2<T<-0.78)$

$p(-2<T<-0.78)=\Pi (-0.78)-\Pi (-2)=(1-\Pi (0.78))-(1-\Pi (2))=0.1949$

Exercice

Loi normale (calculs directs)

Principe de base :

On introduit la variable aléatoire T définie par :

$T={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$

qui suit la loi normale centrée réduite.

On traduit la question pour obtenir le calcul d'une probabilité concernant T, et on est donc ramené au cas précédent.

Exemples de calculs variés

X suit la loi (190 ; 3.2).
Calculer $P(183.216<X<189.584)$

X suit la loi (190 ; 3.2), donc la variable aléatoire T définie par :

$T={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-190}{3.2}}$ suit la loi normale centrée réduite.
P(183.216 < X < 189.584) = $P(-2.12<T<-0.13)=\Pi (-0.13)-\Pi (-2.12)=(1-\Pi (0.13))-(1-\Pi (2.12))=0.4313$

Exercice

Lecture inverse de la table

On cherche maintenant un nombre $h$ tel que $\Pi (h)$ soit égal à un nombre donné (compris entre 0 et 1).
Il s'agit donc d'une lecture "inverse" de la table. Celle-ci se fait différemment selon que la valeur de $\Pi (h)$est comprise entre 0 et 0.5 ou entre 0.5 et 1.

$\Pi (h)=\alpha$ avec compris entre 0.5 et 1

Déterminer la valeur de $h$ telle que $\Pi (h)=0.98$.

On cherche le nombre 0.98 "à l'intérieur" de la table, et on lit $h$ "en bordure".

On trouve dans la table : $\Pi (\mathrm{NaN})=0.5$ et $\Pi (1)=0.8413$.
0.98 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc $h=0.5$.

Cas particulier : Déterminer la valeur de $h$ telle que $\Pi (h)=0.95$.

On trouve dans la table : $\Pi (\mathrm{NaN})=0.5$ et $\Pi (1)=0.8413$.
0.95 est compris entre 0.5 et 0.8413, et est exactement au milieu entre ces deux nombres.
On prendra donc $h=1.645$.

$\Pi (h)=\alpha$ avec compris entre 0 et 0.5

On utilise la symétrie de la courbe de densité de la loi normale, ce qui donne : $\Pi (-t)=1-\Pi (t)$

Déterminer la valeur de $h$ telle que $\Pi (h)=0.02$.

Le nombre 0.02 ne se trouve pas "à l'intérieur" de la table, car il est inférieur à 0.5.
On cherche donc le nombre $1-0.02=0.98$.

On a en effet : $\Pi (-h)=1-\Pi (h)=0.98$

On trouve dans la table : $\Pi (\mathrm{NaN})=0.5$ et $\Pi (1)=0.8413$.
0.98 est compris entre 0.5 et 0.8413, mais plus proche de 0.6915.
On prendra donc $-h=0.5$, d'où $h=-0.5$.

Exercice

Loi normale centrée réduite (calculs avec lecture inverse)

On sait que T suit la loi normale centrée réduite, on connait une probabilité du type $P(T<a)$, $P(T>a)$ ou $P(-a<T<a)$ et on cherche a.

Exemples de calculs variés

T suit la loi (0 ; 1). Déterminer $a$ pour que : $P(T>a)=0.1814$

En appliquant la formule $p(T>a)$ = $1-\Pi (a)$, on obtient : $1-\Pi (a)=0.1814$. D'où $\Pi (a)=0.8186$

Comme 0.8186 > 0.5, la lecture inverse se fait sans problème, et on trouve $a=0.91$.

Conclusion : P(T > 0.91) = 0.1814

Exercice

Loi normale (calculs utilisant la lecture inverse de la table)

On sait que X suit une loi normale, on connait une probabilité et on cherche soit une borne de l'intervalle, soit la moyenne, soit l'écart-type de la loi de X.

Exemple de calcul où on cherche une borne de l'intervalle (ou les deux)

Recherche d'une borne

La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne $m=218$ et d'écart-type $\sigma =10.9$.

Déterminer $h$ pour que $P(218-h<X<218+h)=0.66$

$X$ suit la loi normale de moyenne 218 et d'écart-type 10.9, donc $T={\displaystyle \frac{X-218}{10.9}}$ suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé, $P(218-h<X<218+h)=0.66$
On obtient donc en soustrayant 218 puis en divisant par 10.9 : $P({\displaystyle \frac{-h}{10.9}}<T<{\displaystyle \frac{h}{10.9}})=0.66$.
Ceci donne $2\times \Pi ({\displaystyle \frac{h}{10.9}})-1=0.66$, d'où $\Pi ({\displaystyle \frac{h}{10.9}})={\displaystyle \frac{1.66}{2}}=0.83$

Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
${\displaystyle \frac{h}{10.9}}=0.5$ et enfin : $h=0.5\times 10.9=5.45$

Conclusion : $P(218-5.45<X<218+5.45)=0.66$

Exemple de calcul où on cherche la moyenne de la loi de $X$

Recherche de la moyenne

La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma =0.5$.

Déterminer $m$ pour que $P(X<450.8225)=0.95$

$X$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type 0.5, donc $T={\displaystyle \frac{X-m}{0.5}}$ suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé, $P(X<450.8225)=0.95$
On obtient donc en soustrayant $m$ puis en divisant par 0.5 : $P(T<{\displaystyle \frac{450.8225-m}{0.5}})=0.95$.
On en déduit que $\Pi ({\displaystyle \frac{450.8225-m}{0.5}})=0.95$.

Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
${\displaystyle \frac{450.8225-m}{0.5}}=1.645$

et enfin : $-m=1.645\times 0.5-450.8225$ d'où $m=450$

Conclusion : Si X suit la loi normale de moyenne $m=450$ et d'écart-type $\sigma =0.5$, on a $P(X<450.8225)=0.95$

Exemple de calcul où on cherche l'écart type de la loi de $X$

Recherche de l'écart type

La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne $m=286$ et d'écart-type .

Déterminer pour que $P(284<X<288)=0.73$.

$X$ suit la loi normale de moyenne 286 et d'écart-type , donc $T={\displaystyle \frac{X-286}{\sigma }}$ suit la loi normale centrée réduite.
D'après l'énoncé, $P(284<X<288)=0.73$
On obtient donc en soustrayant 286 puis en divisant par : $P({\displaystyle \frac{284-286}{\sigma }}<T<{\displaystyle \frac{288-286}{\sigma }})=0.73$, c'est à dire : $P({\displaystyle \frac{-2}{\sigma }}<T<{\displaystyle \frac{2}{\sigma }})=0.73$.
Ceci donne $2\times \Pi ({\displaystyle \frac{2}{\sigma }})-1=0.73$, d'où $\Pi ({\displaystyle \frac{2}{\sigma }})={\displaystyle \frac{1.73}{2}}=0.865$

Par lecture inverse de la table, on obtient alors :
${\displaystyle \frac{2}{\sigma }}=0.5$ et enfin : $0.5\times \sigma =2$ d'où $\sigma =4$

Conclusion : Si X suit la loi normale de moyenne $m=286$ et d'écart-type $\sigma =4$, on a $P(284<X<288)=0.73$

Exercice

niveau BTS.
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