Changement de variables

Objectifs

La méthode du changement de variable est très utile pour le calcul d'intégrale ou de primitive ; elle peut conduire à des erreurs si elle n'est pas appliquée avec soin. On peut aussi se compliquer la vie inutilement si on l'applique de travers.

Guide

• Le théorème et Démonstration
• Cas où le changement de variables est évident
• Exemple
• Cas où le changement de variables n'est pas évident
• Exemple typique
• Exercices corrigés
• Changement de variables dans une primitive
• Exercices interactifs

Le théorème

Théorème : Soit une fonction réelle de classe $C^1$ définie sur l'intervalle $[a,b]$. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $\phi ([a,b])$. On a l'égalité :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^b(f\circ \phi )(t)\phi \prime (t)\mathrm{dt}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)\mathrm{du}.$

Cas où le changement de variables est évident

On doit calculer ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}h(x)\mathrm{dx}$ ; on voit que $x$ apparaît toujours par l'intermédiaire d'une expression plus complexe $\phi (x)$ et de sa dérivée $\phi \prime (x)$ :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}h(x)\mathrm{dx}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^b(f\circ \phi )(x)\phi \prime (x)\mathrm{dx}$,

on fait alors le changement de variable $u=\phi (x)$ : On applique à la fonction $f$ le théorème.

Soit une fonction réelle de classe $C^1$ définie sur l'intervalle $[a,b]$. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $\phi ([a,b])$. On a l'égalité :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(\phi (x))\phi \prime (x)\mathrm{dx}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)\mathrm{du}$

Concrètement, on vérifie que la fonction est $C^1$ sur $[a,b]$ et on remplace

$\phi (x)$	par	$u$
$\phi \prime (x)\mathrm{dx}$	par	$\mathrm{du}$
les bornes $a$ et $b$	par	$\phi (a)$ et $\phi (b)$.

On obtient ainsi une nouvelle intégrale ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)\mathrm{du}$ égale à l'intégrale ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}h(x)\mathrm{dx}$.

Remarque : Quand $x$ vaut $a$, la nouvelle variable $u=\phi (x)$ vaut $\phi (a)$...
Exemple

Exemple

Pour voir le théorème en même temps.

Soit une fonction réelle de classe $C^1$ définie sur l'intervalle $[a,b]$. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $\phi ([a,b])$. On a l'égalité :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(\phi (x))\phi \prime (x)\mathrm{dx}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(u)\mathrm{du}$

Calculons $I={\begin{array}{c}\int \end{array}}_3^4$ $\mathrm{dx}$. La fonction à intégrer est de la forme $f(\cos (x{)}^2)$ où est la dérivée de $\phi (x)=\cos (x{)}^2$ et où $f$ est la fonction définie par $f(u)=u^3$. On fait donc le changement de variable $u=\cos (x{)}^2$ :

• On prend $f(u)=u^3$ et $\phi (x)=\cos (x{)}^2$.
• On vérifie que est une fonction $C^1$ sur l'intervalle [3,4].
• On vérifie que $f$ est une fonction continue sur l'intervalle $[\phi (3),\phi (4)]=[\cos (3{)}^2,\cos (4{)}^2]$.
• Puis on remplace

  $\cos (x{)}^2$	par	$u$
  $\mathrm{dt}$	par	$\mathrm{du}$
  les bornes 3 et 4	par	$\cos (3{)}^2$ et $\cos (4{)}^2$

On obtient donc :

$I={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\cos (3{)}^2}^{\cos (4{)}^2}{u}^3\mathrm{du}=[{]}_{\cos (3{)}^2}^{\cos (4{)}^2}=0$.

Cas où le changement de variables n'est pas évident

On peut aussi utiliser la formule du théorème

Soit une fonction réelle de classe $C^1$ définie sur l'intervalle $[a,b]$. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $\phi ([a,b])$. On a l'égalité :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(\phi (t))\phi \prime (t)\mathrm{dt}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\mathrm{dx}$

de la droite vers la gauche. Pour calculer ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm{dx}$ où $f$ est une fonction continue sur $[\alpha ,\beta ]$, on a envie de poser $x=\phi (t)$.
Contrairement à ce qu'il est souvent écrit, on n'a pas besoin de définir la fonction réciproque de . Par contre, il est essentiel de trouver un intervalle $[a,b]$ tel que

• la fonction est définie, de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et vérifie $\phi (a)=\alpha$ et $\phi (b)=\beta$
• la fonction $f$ est continue sur $\phi ([a,b])$ (attention, $\phi ([a,b])$ peut être plus grand que $[\alpha ,\beta ]$).

On peut alors appliquer le théorème

Soit une fonction réelle de classe $C^1$ définie sur l'intervalle $[a,b]$. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $\phi ([a,b])$. On a l'égalité :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(\phi (t))\phi \prime (t)\mathrm{dt}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\mathrm{dx}$

pour faire le changement de variable $x=\phi (t)$ :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm{dx}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^b(f\circ \phi )(t)\phi \prime (t)\mathrm{dt}$.

Concrètement, une fois choisie la fonction :

• on choisit $a$ et $b$ vérifiant $\phi (a)=\alpha$ et $\phi (b)=\beta$ et on détermine l'intervalle $\phi ([a,b])$ ;
• on vérifie que est $C^1$ sur l'intervalle $[a,b]$ ;
• on vérifie que $f$ est une fonction continue sur $\phi ([a,b])$ ; c'est immédiat dans le cas $\phi ([a,b])=[\alpha ,\beta ]$ ;
• on remplace

  $x$	par	$\phi (t)$
  $\mathrm{dx}$	par	$\phi \prime (t)\mathrm{dt}$
  les bornes et	par	$a$ et $b$

On obtient ainsi une nouvelle intégrale ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(\phi (t))\phi \prime (t)\mathrm{dt}$ égale à l'intégrale ${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\alpha }^{\beta }f(x)\mathrm{dx}$.

Remarque :

• En général, on choisit $a$ et $b$ de manière à ce que la fonction soit bijective de $[a,b]$ sur $[\alpha ,\beta ]$, et en particulier tel que $\phi ([a,b])$ soit égal à $[\alpha ,\beta ]$ : par exemple dans le cas où le changement de variables est $x=\cos (u$) avec les bornes $\alpha =0$ et $\beta =1$, personne n'aurait l'idée saugrenue de prendre $a=-{\displaystyle \frac{59}{2}}\pi$ et $b=80\pi$ si la fonction $f$ est définie sur $ℝ$. Mais c'est permis !
• En aucun cas, il n'est nécessaire que la réciproque de soit $C^1$.

Exemple typique Exercices corrigés

Exemple typique

Pour voir le théorème.

Soit une fonction réelle de classe $C^1$ définie sur l'intervalle $[a,b]$. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $\phi ([a,b])$. On a l'égalité :

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{b}f(\phi (t))\phi \prime (t)\mathrm{dt}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\mathrm{dx}$

On veut calculer l'intégrale $I={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{dx}$. On a envie de poser $x=\cos (t)$ et de prendre comme fonction la fonction définie par $\phi (t)=\cos (t)$ sur un intervalle à déterminer.

• La fonction est $C^1$ sur $ℝ$. On choisit deux nombres $a$ et $b$ tel que
  $\cos (a)=-1$ et $\cos (b)=1$,
  $a=\pi$ et $b=0$ par exemple.,
  On peut aussi prendre $a=5\pi$ et $b=6\pi$ ; mais bien sûr, jamais personne ne fera cela !
  
  L'image de $\phi$ est de toute façon contenue dans [-1,1] (et même égale).
• La fonction $f$ définie sur [-1,1] par $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ est continue sur [-1,1] ;
• On obtient par le théorème :
  $I={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{dx}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\pi }^0\sqrt{1-{\cos }^2(t)}(-\sin t)\mathrm{dt}$

On dit ici que l'on fait le changement de variables $x=\cos (t)$ pour $t$ compris entre $0$ et . Il ne reste plus qu'à finir les calculs.

Sur l'intervalle [0,], la fonction sin est positive, on a donc :

$I={\begin{array}{c}\int \end{array}}_0^{\pi }{\sin }^2(t)\mathrm{dt}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_0^{\pi }{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\cos (2t))\mathrm{dt}={\displaystyle \frac{\mathrm{pi}}{2}}.$

Remarquons que si on avait pris les bornes saugrenues $a=5\pi$ et $b=6\pi$, la fonction $\sin$n'aurait pas été positive entre $5\pi$ et $6\pi$ et le calcul aurait été moins simple !

Exercices corrigés

Exercice : Vous voulez calculer l'intégrale $I={\begin{array}{c}\int \end{array}}_0^1\sqrt{1-x^2}\mathrm{dx}$. Le théorème justifie-t-il le changement de variables $x=\cos (t)$ pour $t$ compris entre $6\pi$ et ${\displaystyle \frac{7}{2}}\pi$ ? Que vaut l'intégrale transformée ?
Solution

Oui, le théorème s'applique :

• la fonction définie sur l'intervalle [ ${\displaystyle \frac{7}{2}}\pi ,6\pi$] par $\phi (t)=\cos (t)$ est $C^1$.
• Son image est contenue dans l'intervalle [-1,1]. On a
  $\cos \left({\displaystyle \frac{7}{2}}\pi \right)=0$ , $\cos (6\pi )=1$
• La fonction $f$ définie sur [-1,1] par $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ est continue sur [-1,1].

L'intégrale $I$ est égale à

${\begin{array}{c}\int \end{array}}_{{\displaystyle \frac{7}{2}}\pi }^{6\pi }\sqrt{1-\cos (t{)}^2}(-\sin (t))\mathrm{dt}$

Bien que correct, le choix de cet intervalle est tout à fait déconseillé car la suite des calculs serait très compliquée puisqu'il faudrait séparer en intervalles où $\sin$ est de signe constant pour calculer $\mid \sin (t)\mid =\sqrt{1-\cos (t{)}^2}$.

Exercice : Soit $I={\begin{array}{c}\int \end{array}}_0^{\pi }{\displaystyle \frac{\mathrm{dx}}{2+\cos x}}$. Le théorème justifie-t-il le changement de variables $x=\mathrm{Arctan}(2t)$ ? Que choisirez-vous pour les bornes $a$ et $b$ de la nouvelle intégrale ?
Solution

Non, je ne peux pas trouver de nombres $a$ et $b$ vérifiant les deux conditions suivantes

• $\mathrm{Arctan}(a)=0,\mathrm{Arctan}(b)=\pi$
• la fonction $x\to \mathrm{Arctan}(2x)$ est définie et $C^1$ sur l'intervalle $[a,b]$ (ou $[b,a]$).

Par contre en transformant astucieusement, on peut utiliser dans ce cas le changement de variable dit évident ou conseillé, c'est-à-dire transformer 1/(2+cos(x)) par les formules de trigonométrie jusqu'à tomber sur une expression de la forme $1/(2+\cos (x))=h(tg(x/2))tg(x/2)\prime$. Sur quel intervalle peut-on alors prendre comme fonction la fonction donnée par $\phi (x)=tg(x/2)$ ?

Changement de variables dans une primitive

Pour le calcul de la primitive $F(x)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(u)\mathrm{du}$ sur l'intervalle $[c,d]$ (avec $a\in [c,d]$), on applique le changement de variable $u=\phi (t)$ si on peut

• choisir un $y$ vérifiant $x=\phi (y)$ et un $\alpha$ tel que $a=\phi (\alpha )$
• vérifier que est $C^1$ sur $[\alpha ,y]$ (ou $[y,\alpha ]$)
• vérifier que $f$ est une fonction continue sur $\phi ([\alpha ,y])$.

Pour remplir ces conditions, on est donc amené à choisir un changement de variable bijectif sur $[c,d]$ afin de pouvoir considérer la fonction réciproque de sur ${\phi }^{-1}([c,d])$.

Concrètement,

• pour tout x de $[c,d]$, on pose y=(x)
• on vérifie que est $C^1$ sur $\psi ([c,d])$
• on vérifie que $f$ est continue sur $[c,d]$.

La primitive $F$ est alors définie sur $[c,d]$ et on a en tout point $x$ de $[c,d]$

$F(x)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_a^{x}f(u)\mathrm{du}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\psi (a)}^{\psi (x)}(f\circ \phi (t))\phi \prime (t)\mathrm{dt}$

Exemple :

$F(x)={\begin{array}{c}\int \end{array}}_0^x\sqrt{1-u^2}\mathrm{du}(x\in [-1,1])$

Le changement de variable $u=\cos (t)$ appliqué à $t$ compris entre ${\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$ et Arccos(x) donne (par définition de Arccos, $\sin (t)$ est toujours positif ou nul pour $t$ compris entre ${\displaystyle \frac{1}{2}}\pi$ et Arccos(x)) :

$F(x)=-{\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\pi /2}^{\mathrm{Arccos}(x)}{\sin }^2(t)\mathrm{dt}={\begin{array}{c}\int \end{array}}_{\mathrm{Arccos}(x)}^{\pi /2}{\displaystyle \frac{1}{2}}(1-\cos (2t))\mathrm{dt}$

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\pi /2-\mathrm{Arccos}(x)+{\displaystyle \frac{\sin (2\mathrm{Arccos}(x))}{2}})$

$F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\pi /2-\mathrm{Arccos}(x)+\sin (\mathrm{Arccos}(x))\cos (\mathrm{Arccos}(x)))$

$F(x)={\displaystyle \frac{\pi }{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{Arccos}(x)+{\displaystyle \frac{x}{2}}\sqrt{1-x^2}$

Exercices interactifs

Exercice : Dérivation d'une intégrale fonction des bornes

Exercice : Intégration interactive : changement de variables

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