OEF lois continues, échantillonnage, estimation --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 9 exercices sur les lois continues (densité, loi uniforme, loi normale, loi exponentielle), échantillonnage, estimation, intervalle de fluctuation, intervalle de confiance. Niveau Terminale ES ou S.

Loi à densité

Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de densité la fonction définie sur l'intervalle [ ; ] par .

Les probabilités seront arrondies au millième.

Quelles sont les valeurs possibles de X ?
≤ X ≤
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P(X ∈ [,]) ≈
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P(X ∈ [;]) ≈
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P(X∈[;]) ≈
Sachant que X ≤ , quelle est la probabilité que X ≥ ?
P(X≤)(X ≥ ) ≈

Intervalle de confiance : élection

Lors d'une élection, un institut de sondage souhaite estimer le pourcentage de votants pour X. Pour ce faire, il constitue un échantillon de taille afin de déterminer un intervalle de confiance de la proportion de votants pour X.
Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon pour que l'amplitude de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 0.95, soit inférieure ou égale à .

n=

La taille minimale de l'échantillon est n=


On interroge aléatoirement personnes, % ont l'intention de voter pour X.
En déduire un encadrement par intervalle de confiance, au niveau de confiance 0.95, du pourcentage de votant pour X.

On note fobs la fréquence observée dans l'échantillon.
On arrondira les fréquences au centième et les pourcentages au dixième.

On a n= , fobs= .
Les conditions n≥ 30, n.fobs≥5 et n.(1-fobs)≥5

n=
fobs=
Les conditions d'approximation sont vérifiées.

Au niveau de confiance 0.95, le pourcentage de votants pour X., se situe entre % et %.

Intervalle de fluctuation asymptotique : urne

Compléter.
Population étudiée :
Caractère étudié : être de couleur
Proportion du caractère dans la population totale : p=
Taille de l'échantillon : n=
Les conditions et sont-elles vérifiées ?

Population étudiée :

Caractère étudié : "être de couleur " p=

taille de l'échantillon : n=

Les conditions sont vérifiées Les conditions ne sont pas vérifiées.

Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de F en arrondissant à .
=[ , ]

Loi uniforme : choix d'un nombre au hasard

On choisit un nombre réel X au hasard entre et . On suppose que X suit la loi uniforme sur l'intervalle [,].
Les probabilités seront arrondies au millième.
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P( ≤ X ≤ )=
Quelle est la probabilité que X soit compris entre et ?
P( ≤ X ≤ )=
Quelle est la probabilité que X soit ou égal à ?
P(X )=
Sachant que le nombre choisi est inférieur ou égal à , quelle est la probabilité qu'il soit supérieur ou égal à ?
P(X ≤)(X ≥ )=
Quelle est l'espérance de X ?
E(X)=

Loi exponentielle : calcul I

Soit une variable aléatoire de densité , où la fonction est définie par :
si et sinon.
Calculer la probabilité que l'événement se réalise.
Déterminer .
=

Loi exponentielle : calcul II

Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .

Garder au moins 4 chiffres significatifs

Calculer la probabilité que l'événement se réalise.
Calculer la probabilité que l'événement se réalise.
Déterminer .
=

Loi normale : longueur d'une pièce

Une machine produit des pièces dont la longueur est une variable aléatoire X qui suit une loi normale mm et mm2 mm .
Une pièce est "acceptable" si sa longueur est comprise entre mm et mm.
Quel est le pourcentage, arrondi au dixième, de pièces acceptables produites par cette machine ?
p ≈ %.
On souhaite régler l'écart-type σ de cette machine (l'espérance restant inchangée) pour que % des pièces soient acceptées.
Déterminer la valeur de σ arrondie à 10-3.
σ ≈

Intervalle de fluctuation : parité à l'embauche

Dans un bassin d'emploi, il y a % d'hommes et % de femmes.
Une entreprise a recruté hommes et femmes.
Le bassin est suffisamment important pour considérer le recrutement comme un échantillon de taille de l'ensemble des demandeurs d'emploi de ce bassin.
On souhaite savoir si cette entreprise a respecté la parité homme/femme.
Les résultats seront arrondis au centième.
compléter :
Population étudiée :
Caractère étudié :être proportion dans la population : p=
Echantillon : taille n= fréquence observée dans l'échantillon : fobs=
Les conditions n ≥ 30, n.p ≥ 5 et n.(1-p) ≥ 5 sont-elles vérifiées ? .
Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la fréquence d'hommes dans un échantillon de taille . Conclure.
On rappelle que n=, p=, fobs= et les conditions d'approximation sont respectées.
On rappelle que n=, p=, fobs= et les conditions d'approximation sont respectées.
=[ ; ]

On a fobs I, donc la différence entre fobs et p statistiquement significative. Au seuil de 95%, suspecter cette entreprise de ne pas respecter la parité homme- femme à l'embauche.

Loi normale : taille, poids d'une personne

La Le , en , d'un d'une agé agée de ans, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale d'espérance m= et d'écart-type = .
Les probabilités seront arrondies au millième et les pourcentages au dixième.
Quelle est la probabilité que la le d'un d'une de cet âge soit à ?
P(X ) ≈
Quelle est la probabilité qu' il elle mesure pèse au ?
P(X ) ≈
Quelle est le pourcentage de de ans, mesurant pesant entre entre et ?
p ≈ %
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