DOC Etude de signes

Etude de signes

Ce document regroupe les principales techniques d'étude de signes utiles en classe de BTS.

1. Pourquoi a-t-on besoin d'étudier le signe d'une expression ?

2. Signe d'une expression de la forme $\mathrm{ax}+b$

3. Signe d'une expression de la forme ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$

4. Signe d'une expression comportant des fractions où $x$ figure au dénominateur

5. Signe d'une expression avec la fonction exponentielle

6. Signe d'une expression avec la fonction logarithme népérien

1. Pourquoi a-t-on besoin d'étudier le signe d'une expression ?

Les questions pour lesquelles on a besoin d'étudier le signe d'une expression sont principalement de trois types :

• Pour déterminer le sens de variation d'une fonction $f$, on étudie le signe de sa dérivée : $f\prime (x{)}^{}$.
  Pour interpréter ce signe :
  Si $f\prime (x)$ a le signe + sur un intervalle, alors $f$ est croissante sur cet intervalle.
  Si $f\prime (x)$ a le signe - sur un intervalle, alors $f$ est décroissante sur cet intervalle.
• Pour déterminer la position par rapport à l'axe des abscisses de la courbe représentant une fonction $f$, on étudie le signe de $f(x{)}^{}$
  Pour interpréter ce signe :
  Si $f(x)$ a le signe +, alors la courbe de $f$ est au dessus de l'axe des abscisses.
  Si $f(x)$ a le signe -, alors la courbe de $f$ est en dessous de l'axe des abscisses.
• Pour déterminer la position relative des courbes représentant deux fonctions $f$ et $g$, on étudie le signe de $f(x)-g(x{)}^{}$
  Pour interpréter ce signe :
  Si $f(x)-g(x)$ a le signe +, alors la courbe de $f$ est au dessus de celle de $g$.
  Si $f(x)-g(x)$ a le signe -, alors la courbe de $f$ est en dessous de celle de $g$.

Il est donc très important, avant de commencer l'étude du signe, de bien choisir l'expression dont on va étudier le signe.

Exercice QCM

Exercice avec réponses libres

2. Signe d'une expression de la forme ax + b

Quand une expression est de la forme $\mathrm{ax}+b$, elle s'annule pour UNE valeur de $x$ qui est la solution de l'équation $\mathrm{ax}+b=0$.

Le signe de $\mathrm{ax}+b$ est le signe de $a$ à droite de la solution de l'équation $\mathrm{ax}+b=0$ et le signe contraire à gauche.
Autrement dit :

$x$	$-\mathrm{\infty }$	(*)	$+\mathrm{\infty }$
$\mathrm{ax}+b$	Signe contraire au signe de $a$	0	Signe de $a$

où (*) désigne la solution de l'équation $\mathrm{ax}+b=0$.

Exemples

Etudier le signe de en fonction des valeurs de $x$.

On résout l'équation : $=0$. Cette équation a comme solution $x=$.
Le coefficient de $x$ est -2. Il a le signe -.
Le tableau de signes de est donc :

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
	+	0	-

Exercice

3. Signe d'une expression de la forme ax² + bx + c

Une expression de la forme ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ peut s'annuler en 0, une ou deux valeurs de $x$ selon la valeur du discriminant = $b^2-4\mathrm{ac}$.

• Si < 0, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ ne s'annule jamais et garde toujours le signe de $a$.
  

  $x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
  ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$		Signe de $a$

• Si = 0, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ s'annule pour une valeur : $x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}$ et est toujours du signe de $a$ en dehors de cette valeur.
  

  $x$	$-\mathrm{\infty }$	${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$	$+\mathrm{\infty }$
  ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$	Signe de $a$	0	Signe de $a$

• Si > 0, ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ s'annule pour deux valeurs de $x$: ${\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}}$ et ${\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}}$.
  ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$ est du signe de $a$ sauf entre ces deux valeurs.
  On note $x_1$ et $x_2$ ces deux valeurs, ordonnées en ordre croissant.
  

  $x$	$-\mathrm{\infty }$	$x_1$		$x_2$	$+\mathrm{\infty }$
  ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$	Signe de $a$	0	Signe contraire au signe de $a$	0	Signe de $a$

Exemple dans le cas où le discriminant est négatif

Etudier le signe de en fonction de $x$.

C'est une expression de la forme ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$, avec $a=1$, $b=$ et $c=$.
On calcule donc son discriminant :

$\Delta =b^2-4\mathrm{ac}=({)}^2-4\times (1)\times ()=<0$.

Le signe de est donc toujours le signe du coefficient de $x^2$, c'est-à-dire le signe +.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
		+

Exemple dans le cas où le discriminant est nul

Etudier le signe de en fonction des valeurs de $x$.

C'est une expression de la forme ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$, avec $a=3$, $b=$ et $c=$.
On calcule donc son discriminant :

$\Delta =b^2-4\mathrm{ac}=({)}^2-4\times (3)\times ()=$.

s'annule pour $x={\displaystyle \frac{-b}{2a}}={\displaystyle \frac{-()}{2\times 3}}=$

Pour tout $x$ différent de , le signe de est le signe du coefficient de $x^2$, c'est-à-dire le signe +.

$x$	$-\mathrm{\infty }$				$+\mathrm{\infty }$
		+	0	+

Exemple dans le cas où le discriminant est positif

Etudier le signe de en fonction des valeurs de $x$.

C'est une expression de la forme ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+c$, avec $a=-1$, $b=$ et $c=$.
On calcule donc son discriminant :

$\Delta =b^2-4\mathrm{ac}=({)}^2-4\times (-1)\times ()=>0$.

s'annule pour les deux nombres : $x={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}}={\displaystyle \frac{-()-\sqrt{}}{2\times -1}}=$ et $x={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}}={\displaystyle \frac{-()+\sqrt{}}{2\times -1}}=$

Les deux racines, en ordre croissant sont donc et .
Pour $x$ extérieur à l'intervalle des racines, le signe de est le signe du coefficient de $x^2$, c'est-à-dire le signe -.
Pour $x$ compris entre et , le signe de est le signe contraire au signe de $a$, c'est-à-dire +.

$x$	$-\mathrm{\infty }$						$+\mathrm{\infty }$
		-	0	+	0	-

Exercice

4. Signe d'une expression comportant des produits et quotients

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient d'expressions, on étudie séparément le signe des différentes expressions, puis on utilise la "règle des signes" :

• $+\times +=+$
• $+\times -=-$
• $-\times +=-$
• $-\times -=+$
Les règles sont les mêmes pour multiplication et division.

Ceci se fait souvent sous forme de tableau.

Tableaux de signes avec produits et quotients

Pour étudier le signe d'une expression comportant une ou plusieurs fractions où $x$ figure au dénominateur et éventuellement d'autres termes, il faut réduire l'ensemble au même dénominateur pour n'obtenir qu'une seule fraction.

On étudie ensuite séparément le signe du numérateur et le signe du dénominateur, puis on utilise la règle des signes, comme précédemment.

Exemple

Etudier le signe de l'expression : $-2-{\displaystyle \frac{4}{x+3}}$.

$-2-{\displaystyle \frac{4}{x+3}}=-{\displaystyle \frac{2(x+3)}{x+3}}-{\displaystyle \frac{4}{x+3}}={\displaystyle \frac{-2(x+3)-4}{x+3}}={\displaystyle \frac{}{x+3}}$

$=0$ pour $x=$
$x+3=0$ pour $x=$

$x$	$-\mathrm{\infty }$						$+\mathrm{\infty }$
		+	|	+	|	-
$x+3$		-	|	+	|	+
$-2-{\displaystyle \frac{4}{x+3}}$		-	||	+	||	-

Exercice pour revoir la technique de réduction au même dénominateur

Exercice

5. Signe d'une expression avec la fonction exponentielle

Nous nous limiterons à deux types d'expressions :

• celles qui peuvent se transformer en produit d'une exponentielle par un polynôme,
• celles qui peuvent se mettre sous la forme $a{e}^{\mathrm{cx}+d}+b$.

Signe du produit d'une exponentielle par un polynôme

L'exponentielle étant toujours strictement positive, le signe de $P(x)e^{...}$ est le même que le signe de $P(x)$.

Si $P(x)$ est de degré 1 ou 2, on est donc ramené aux cas étudiés dans les § 2 et 3.

Exemples

Etudier le signe de en fonction des valeurs de $x$.

Pour tout $x$, on sait que $>0$.
Donc a le même signe que .
On doit étudier le signe d'une expression de la forme $\mathrm{ax}+b$. L'équation : $=0$ a comme solution $x=$.
Le tableau de signes de est donc :

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
	-	0	+

Exercice

Signe d'une expression de la forme $a{e}^{\mathrm{cx}+d}+b$

Méthode

• on commence par regarder si le signe est "évident" en tenant compte du fait que l'exponentielle est strictement positive :

Exemples

Etudier, selon les valeurs de $x$, le signe de l'expression : $10e^{()}+9$.

Pour tout $x$, on sait que $e^{5x-3}>0$.
$10e^{5x-3}$ et $9$ sont donc tous les deux strictement positifs .
$10e^{()}+9$ est la somme de deux nombres strictement positifs .

Cette expression est strictement positive pour toutes les valeurs de $x$.

$x$	$-\mathrm{\infty }$		$+\mathrm{\infty }$
$10e^{()}+9$		+

Dans les autres cas, on remplace la question du signe par une résolution d'inéquation
(*** >0 pour savoir quand *** a le signe + )

La résolution de cette inéquation se fait en "débobinant" la formule construite à partir de $x$.

on devra alors utiliser les formules valables pour tout $B$ strictement positif :
$e^A<B\iff A<\ln (B)$
$e^A>B\iff A>\ln (B)$

Exemples

Etudier le signe de en fonction des valeurs de $x$.

Cette expression est la somme d'un terme strictement positif et d'un terme strictement négatif. On ne peut donc pas donner son signe de manière évidente.

On résout l'inéquation : $>0$ qui va nous donner l'intervalle dans lequel le signe de sera le signe +.

Attention aux changements de sens des inégalités si on multiplie ou divise par un nombre négatif !

$>0$ $-2e^{7x+9}>-4$ $e^{7x+9}<$ $7x+9<\ln ()$ $7x<\ln ()-9$ $x<{\displaystyle \frac{\ln ()-9}{7}}$

Le tableau de signes de est donc :

$x$	$-\mathrm{\infty }$
	+	0	-

Exercice

6. Signe d'une expression avec la fonction logarithme népérien

On se limitera ici à l'étude du signe d'expressions de la forme E = a ln(cx + d) + b.

Cette étude n'a de sens que dans l'intervalle de définition de cette expression, c'est à dire quand cx + d > 0.

On remplace, ici encore, la question de l'étude du signe de l'expression E par la résolution d'une inéquation E > 0.

Dans un intervalle où A > 0, on aura à utiliser les équivalences :

Cas particulier :

Exemple avec logarithme

Etudier le signe de l'expression ln(t+3 ). 

L'expression ln(t+3 ) est définie si t+3 > 0, c'est à dire si t appartient à l'intervalle ] ; + [.

Sous cette condition, on a les équivalences suivantes :

ln(t+3 ) > 0    ln( t+3) > On applique la règle   : (I)     t+3 > 1
(I)     t > 1 -3 On divise par 1 : (I)     t >

Posons   .
Le tableau de signe de ln(t+3 ) sur ] ; + [ est :

t
ln(t+3 )	-	0	+

Exercice guidé

Exercice

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