Nombres complexes (introduction)

Sommaire

Ce document présente les connaissances de base sur les nombres complexes : opérations et représentation géométrique. Il contient des exercices permettant de se familiariser avec chacune des notions introduites.

On doit à Gauss une définition précise des nombres complexes (l'épithète "complexe"est de lui) en remplacement du qualificatif imaginaire qu'avaient utilisé à l'origine Cardan et Bombelli, l'écriture sous la forme $a + b i$ , leur interprétation et représentation géométriques (dont la paternité revient à Argand) et l'étude des fonctions analytiques d'une variable complexe. (Tiré de ChronoMath.)

Définitions et Représentation dans le plan (affixe d'un point)
Opérations sur les nombres complexes
Module et argument d'un nombre complexe
Vecteurs et nombres complexes
- Affixe d'un vecteur
- Angle de deux vecteurs

Pour poursuivre l'étude des nombres complexes, consultez les cours suivants :

Nombres complexes : Calcul, géométrie
Nombres complexes : équations polynomiales
Géométrie du plan complexe : isométries, similitudes

Les exemples de ce document sont aléatoires ; pour en obtenir un nouveau, il suffit de cliquer sur le lien Recharger.

Définitions

Il n'existe pas de réel

x

solution de l'équation

x^{2} + 1 = 0

. Bombelli, dans son ouvrage L’Algebra, paru en 1572 invente « quelque chose » dont le carré est –1 que l'on note maintenant par la lettre

i

. (Histoire des nombres complexes)

Définition.

L’ensemble des nombres complexes est l’ensemble qui

contient les nombres réels et le nombre $i$ avec $i^{2} = - 1$ ;
est muni d'une addition et d'une multiplication dont les règles de calcul sont les mêmes que celles sur les nombres réels.
est constitué des nombres de la forme $a + b i$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

On appelle $a$ la partie réelle du nombre complexe $z$ (on la note $Re (z)$ ) et $b$ la partie imaginaire de $z$ (on la note $Im (z)$ ).

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

$z = z' \Leftrightarrow [Re (z) = Re (z')$ et $Im (z) = Im (z')]$

Définition. On appelle imaginaire pur un nombre complexe de partie réelle nulle.

Exemple. Le nombre complexe

2 i

est un imaginaire pur.
Remarque. Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel.

Représentation dans le plan

Définition. Soit un point

M

de coordonnées

(a, b)

dans un repère orthonormé

(O, \vec{u}, \vec{v}) .

On appelle affixe de

M

le nombre complexe

a + b i

Remarque.

Les points de l'axe des abscisses sont ceux d'affixe réelle, les points de l'axe des ordonnées sont ceux d'affixe imaginaire pure.

Exemple.

Faites bouger le point A afin de faire varier son affixe affiché dans le coin en haut à gauche.

Exercice.

Placer un point d'affixe donnée !

Opérations sur les nombres complexes

L'addition et la multiplication définies sur les réels se prolongent aux nombres complexes avec les mêmes propriétés d'associativité, de commutativité et de distributivité que pour les nombres réels, en utilisant la règle

i^{2} = - 1

. On les explicite dans les pages suivantes.

Somme de deux nombres complexes
Produit ou quotient d'un nombre complexe par un nombre réel
Produit de deux nombres complexes
Conjugué d'un nombre complexe
Inverse d'un nombre complexe
Quotient d'un nombre complexe par un autre non nul

Somme de deux nombres complexes

De la définition des nombres complexes, on déduit cette propriété :

La somme de deux nombres complexes a pour partie réelle la somme des parties réelles de ces nombres, et pour partie imaginaire la somme de leurs parties imaginaires.

Exemple. La somme de $z_{1} =$ et de $z_{2} =$ est $() + ()$ $= (1.4 - 1.3) + (- 0.2 - 2.8) i$ $=$

Illustration. La figure représente un point M d'affixe $z_{1}$ , un point N d'affixe $z_{2}$ et le point P d'affixe $z_{1} + z_{2}$ avec les valeurs de l'exemple mais ensuite vous pouvez déplacer les points M et N.

Exercice. Calcul d'une somme.

Produit ou quotient d'un nombre complexe par un nombre réel

De la définition des nombres complexes, on déduit cette propriété :

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

Le produit d'un nombre complexe $z = a + b i$ par un réel $k$ est le nombre complexe défini par :

$k \times (a + b i) = k \times a + k \times b i$ .

Le quotient d'un nombre complexe $z = a + b i$ par un réel $k$ non nul est le nombre complexe défini par :

$\frac{a + b i}{k} = \frac{a}{k} + \frac{b}{k} i$ .

Exemples

Produit par un réel : $- 2.8 \times ()$ $= (- 2.8 \times 2.6) + (- 2.8 \times - 0.6) i$ $=$
Quotient par un réel : $\frac{}{2} = \frac{12}{2} + \frac{4}{2} i =$

Illustration

La figure représente le point M d'affixe $z$ , un point N d'affixe réel $x$ et le point P d'affixe $x z$ avec les valeurs de l'exemple mais ensuite vous pouvez déplacer les points M et N.

Exercices

Entraînez-vous au calcul !
Placez des points !

Produit de deux nombres complexes

Pour $a$ , $b$ , $c$ et $d$ quatre nombres réels, le produit des deux nombres complexes $a + b i$ et $c + d i$ s'obtient en appliquant les règles usuelles de distributivité et de commutativité de la multiplication sur les nombres réels et la relation $i^{2} = - 1$ :

$(a + b i) \times (c + d i) =$ $a \times c + b i \times c + a \times d i + (b \times d) i^{2}$ $= (a c - b d) + (a d + b c) i$

Autrement dit, le produit deux nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$ est défini par :

$z_{1} \times z_{2}$ $= [Re (z_{1}) Re (z_{2}) - Im (z_{1}) Im (z_{2})] + [Re (z_{1}) Im (z_{2}) + Im (z_{1}) Re (z_{2})] i$

Exemple. Le produit de et est $() \times ()$ $= (0.6 \times 0.4 + 0.1 \times 0.2) + (0.6 \times 0.2 - 0.1 \times 0.4) i = 1$ .

Sur la figure ci-contre, le point P a pour affixe le produit des affixes des points M et N. Les points M et N peuvent être déplacés.

Exercices.

Calcul de produits
Calcul de carré

Conjugué d'un nombre complexe

Définition. Soit

a

b

des nombres réels. On appelle conjugué du nombre complexe

z = a + i b

, le nombre complexe

a - i b

. On le note

\bar{z}

Exemple. Le conjugué de est .

Interprétation géométrique. Si $M$ est un point d'affixe $z$ alors le symétrique de $M$ par rapport à l'axe $(Ox)$ a pour affixe $\bar{z}$ .
Sur la figure, il est représenté par le point $P$ . Le point $M$ est mobile.

Remarque. Un nombre réel est égal à son conjugué. Le conjugué d'un imaginaire pur est son opposé.

Propriétés. Pour

z

z_{1}

z_{2}

des nombres complexes, on a :

$z + \bar{z} = 2 Re (z)$
$z - \bar{z} = 2 i Im (z)$
$\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$
$\bar{z_{1} z_{2}} = \bar{z_{1}} \bar{z_{2}}$
$\bar{(\frac{z_{1}}{z_{2}})} = \frac{\bar{z_{1}}}{\bar{z_{2}}}$ , pour $z_{2} \neq 0$ .

Exercices.

Parties réelles, imaginaires et conjugués
Somme et conjugués
Produit et conjugués
Produit et conjugué résultat graphique
Propriétés des conjugués

Inverse d'un nombre complexe

Comme pour les réels, $1$ est l'élément neutre de la multiplication dans l'ensemble des nombres complexes et tout nombre complexe $z$ non nul admet un inverse noté $\frac{1}{z}$ .

Si $z = a + b i$ avec $a$ et $b$ des réels qui ne sont pas tous les deux nuls, alors la forme algébrique du nombre $\frac{1}{z}$ s'obtient en multipliant le numérateur et le dénominateur par $a - b i$ :

$\frac{1}{z} = \frac{a - b i}{(a + b i) (a - b i)}$ $= \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b}{a^{2} + b^{2}} i$ $= \frac{a - i b}{a^{2} + b^{2}}$ .

Sur la figure ci-contre, le point R a pour affixe l'inverse de l'affixe du point S.
Le point S peut être déplacé.

Exercice. Calcul d'inverse

Quotient d'un nombre complexe par un autre non nul

Soient

z_{1}

z_{2}

deux nombres complexes avec

z_{2} \neq 0

. Le quotient

\frac{z_{1}}{z_{2}}

est le produit de

z_{1}

par l'inverse de

z_{2}

. Pour

z_{1} = a + b i

z_{2} = c + d i

on obtient :

$\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{(a + b i) \times (c - d i)}{c^{2} + d^{2}}$ $= \frac{(a c + b d) + i (b c - a d)}{c^{2} + d^{2}}$

On a multiplié le numérateur et le dénominateur par

c - d i

Exemple. Le quotient de par est $\frac{}{}$ $= \frac{() (\bar{})}{() (\bar{})}$ $= \frac{0.61 + 0.25 i}{0.41} = 1.4878049 + 0.6097561 i$ .

Exercices

Calcul de quotient
Quotient et conjugué
Remplir un tableau avec des nombres complexes

Module et argument d'un nombre complexe

Dans le plan orienté par le repère $(O, \vec{u}, \vec{v})$ , on considère un point $M$ d'affixe $z = a + b i$ avec $a$ et $b$ réels.

Définitions.

On appelle module d'un nombre complexe $z$ , la distance entre le point $O$ et le point $M$ . On le note $∣ z ∣$ .
Le module de $z$ est $∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{z \bar{z}}$ .

On appelle argument d'un nombre complexe non nul $z$ une mesure $θ$ de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM})$ . C'est un nombre réel défini modulo $2 π$ et noté $\arg (z)$ .

On a donc : $z = ∣ z ∣ . (\cos (θ) + i \sin (θ))$ .

Remarque

Il ne faut pas croire que la recherche de l'argument d'un nombre complexe ne conduise qu'à rencontrer des arguments dont nous connaissons les cosinus et sinus par cœur. En général, on peut connaître une valeur approchée de l'argument d'un nombre complexe grâce à une calculatrice : soit elle dispose de cette fonction, soit on utilise la fonction $\arccos$ .

Exemple

Le point M d'affixe a pour module $3.0413813$ et pour argument $NaN$ mod $2 π$ .
Sur la figure ci-contre, vous pouvez déplacer le point $M$ et voir varier le module et l'argument de l'affixe de $M$ .

Exercices

Interprétation géométrique : module et argument
Calcul du module d'un nombre complexe
Calcul d'un argument d'un nombre complexe
Argument d'une somme
Calcul du module et de l'argument Exercice à étapes
Calcul du module et d'un argument d'un nombre complexe
Calculez $z$ connaissant son module et son argument

Propriétés du module et de l'argument

Soient

z

z'

deux nombres complexes.

$∣ \bar{z} ∣ = ∣ z ∣$
$∣ z z' ∣ = ∣ z ∥ z' ∣$
Pour tout entier naturel $n$ , $∣ z^{n} ∣ = {∣ z ∣}^{n}$ . Pour $z \neq 0$ , $∣ \frac{1}{z} ∣ = \frac{1}{∣ z ∣}$
Inégalité triangulaire : $∣ z + z' ∣ \leq ∣ z ∣ + ∣ z' ∣$
$\arg (\bar{z}) = - \arg (z) [2 π]$
$\arg (z z') = \arg (z) + \arg (z') [2 π]$
Pour tout entier naturel $n$ , $\arg (z^{n}) = n . \arg (z) [2 π]$ .
Pour $z \neq 0$ , $\arg (\frac{1}{z}) = - \arg (z) [2 π]$ et $\arg (\frac{z'}{z}) = \arg (z') - \arg (z) [2 π]$
Pour $z \neq 0$ on a : $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{∣ z ∣^{2}}$ et $\frac{z'}{z} = \frac{z' \bar{z}}{∣ z ∣^{2}}$

Exercices

QCM sur les propriétés des modules
QCM sur les propriétés des arguments

Les trois formes d'un nombre complexe

Un nombre complexe non nul

z

a trois formes classiques.

Définitions.

Pour tout nombre complexe $z$ , on appelle forme algébrique de $z$ l'écriture $z = a + i b$ avec $a = Re (z)$ et $b = Im (z)$ réels.

Pour $z$ non nul, on appelle forme trigonométrique de $z$ l'écriture $z = ∣ z ∣ . (\cos (θ) + i \sin (θ))$ où $θ$ est un argument de $z$ .
Le lien entre la forme algébrique et la forme trigonométrique est donné par les relations suivantes

$∣ z ∣ = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , $\cos (θ) = \frac{a}{∣ z ∣}$ et $\sin (θ) = \frac{b}{∣ z ∣}$
$a = ∣ z ∣ . \cos (θ)$ et $b = ∣ z ∣ . \sin (θ)$

Pour un réel $θ$ , on note $e^{i θ}$ le nombre complexe $\cos (θ) + i \sin (θ)$ . Cette notation est appelée forme exponentielle du nombre complexe. Cette notation est cohérente avec les propriétés de l'exponentielle d'un nombre réel (voir Nombres complexes (équations) ).

Exercices

Placez sur un graphique un nombre complexe donné sous forme trigonométrique
Placez sur un graphique un nombre complexe donné sous forme exponentielle
De la forme exponentielle à la forme algébrique
De la forme algébrique à la forme exponentielle
Nombre complexe sous forme trigonométrique et opérations
Nombre complexe sous forme exponentielle et opérations

Affixe d'un vecteur

Dans ce cours, il est fait dès le début (voir Représentation dans le plan ) le lien entre le corps de nombres complexes et le plan affine euclidien, plus particulièrement les points. On y définit l'affixe d'un point du plan. Nous définissons ici l'affixe d'un vecteur.

Définition. Dans le plan orienté par un repère orthonormé

(O, \vec{u}, \vec{v})

, on considère un vecteur

\vec{w}

de composantes

(x, y)

.
On appelle affixe du vecteur

\vec{w}

le nombre complexe

ω = x + i y

Remarques importantes

L'affixe de $M$ est égale à celle de $\vec{OM}$ .
Si $A$ et $B$ sont des points d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$ , l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{B} - z_{A}$ , et son module vaut la distance $A B$ : $∣ z_{B} - z_{A} ∣ = ∥ \vec{AB} ∥ = A B$
Toute égalité vectorielle se transpose en complexe par "passages aux affixes", c'est-à-dire en remplaçant les vecteurs par leurs affixes et réciproquement. C'est ce qui fait des nombres complexes un outil puissant pour traiter certains problèmes de géométrie.
Par exemple, pour quatre points $A$ , $B$ , $M$ , $G$ d'affixes respectives $a, b, m, g$ .
L'égalité $5 \vec{GM} = 2 \vec{GA} + 3 \vec{GB}$ s'écrit en complexe : $5 (m - g) = 2 (a - g) + 3 (b - g)$ .

Exercices

Exercice sur les distances
Exercice sur les égalités vectorielles.
Dans un plan rapporté à un repère orthonormé, on donne les trois points $A = (1, 5), B = (- 2, 2), C = (1, - 3)$ . On demande les coordonnées du barycentre $G$ des trois points $A, B, C$ affectés respectivement des coefficients $- 2$ , $3$ , $5$ .

On rappelle que $G$ est le barycentre du système $𝒮 = {(A, α), (B, β), (C, γ)}$ avec la condition $α + β + γ \neq 0$ si et seulement si l'égalité $α \vec{GA} + β \vec{GB} + γ \vec{GC} = \vec{0}$ (ou l'égalité équivalente $(α + β + γ) \vec{OG} = α \vec{OA} + β \vec{OB} + γ \vec{OC}$ ) est vérifiée.

Les coordonnées du barycentre sont : $G (- 3, - 19)$ .

Angle de deux vecteurs

Nous utilisons la notion d'argument d'un nombre complexe (voir Module et argument d'un nombre complexe ) pour établir un lien entre les affixes de deux vecteurs et leur angle orienté.

Angle de deux vecteurs

Soient $\vec{w}$ et $\vec{w}'$ deux vecteurs non nuls d'affixes respectives $z$ et $z'$ . Une mesure $θ$ de l'angle $(\vec{w}, \vec{w}')$ est, modulo $2 π$ , un argument de $\frac{z'}{z}$ , c'est-à-dire $θ = arg (z') - arg (z) [2 π]$ .
Pour $A$ et $B$ deux points distincts d'affixes respectives $z_{A}$ et $z_{B}$ et $C$ et $D$ deux points distincts d'affixes respectives $z_{C}$ et $z_{D}$ , l'angle orienté $(\vec{AB}, \vec{CD})$ a pour mesure, modulo $2 π$ , un argument de $\frac{z_{D} - z_{C}}{z_{B} - z_{A}}$ .

Démonstration

Par la relation de Chasles, on a

$(\vec{w}, \vec{w}')$ $= (\vec{u}, \vec{w}') - (\vec{u}, \vec{w})$ $= arg (z') - arg (z)$ $= arg (\frac{z'}{z})$

La formule de (1) est démontrée et s'applique à

(\vec{AB}, \vec{CD})

pour donner :

$(\vec{AB}, \vec{CD})$ $= arg (\frac{z_{D} - z_{C}}{z_{B} - z_{A}})$

Exercices.

Déterminer une mesure en radians de l'angle $(\vec{AB}, \vec{AC})$ où $A$ , $B$ et $C$ sont les points d'affixes respectives : $a = 2 + 2 i$ , $b = 6 - i$ , $c = 8 + 10 i$ .

$(\vec{AB}, \vec{AC}) = \frac{π}{2} [2 π]$
Déterminer une mesure en radians de l'angle $(\vec{AB}, \vec{CD})$ où $A$ , $B$ , $C$ et $D$ sont les points d'affixes respectives : $a = 1 + 2 i$ , $b = 2 + i$ , $c = - 1$ , $d = i \sqrt{3}$ .

$(\vec{AB}, \vec{CD}) = \frac{7 π}{12} [2 π]$
Calcul d'angle

document définissant les nombres complexes, leurs différentes formes et les opérations élémentaires.
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