OEF Exposants rationnels et racines n-ièmes
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 12 exercices d'introduction aux exposants rationnels.
Quelques utilisations pratiques sont données.
Calculer avec des exposants rationnels
On peut écrire
sous la forme
.
On peut écrire
sous la forme
.
Calculer
.
Calculer avec des exposants décimaux
On veut écrire les puissances rationnelles suivantes à l'aide du symbole
. Choisir la formule puis le ou les entiers positifs adaptés.
Question 1/6
A =
.
Question 2/6
B =
On utilise la formule choisie ci-dessus où
et
sont des nombres entiers positifs.
.
.
Question 3/6
C =
Question 4/6
D =
.
Question 5/6
E =
.
Question 6/6
Bravo ! Toutes les réponses sont bonnes ! Mais saurez vous trouver lequel de ces nombres est un nombre décimal ?
= =
= =
= =
= =
= =
Les glaces
Le Glacier des Alpes fabrique des glaces en forme de cône. La glace simple tient dans un cône dont la hauteur est cm et le diamètre de l'ouverture est cm.
En conservant les mêmes proportions, quels doivent être la hauteur et le diamètre de l'ouverture pour obtenir un volume double de glace ?
Et pour la maxi glace dont le volume est le triple de la glace simple ?
Les réponses sont-elles les mêmes si le cône est surmonté d'une demi-boule dont la base est le disque de l'ouverture ?
La duplication du cube
Ératosthène raconte que les habitants de l'île de Délos qui subissaient une épidémie de peste, ont interrogé l'oracle.
Celui-ci leur a dit de doubler l'autel dédié à Apollon. Cet autel avait la forme d'un cube.
Les habitants réalisèrent un autel dont chaque arête était le double de celle de l'autel initial.
Mais la peste s'amplifia et ils prirent conscience que le volume de l'autel avait été multiplié par 8 et non par 2.
Si l'arête de l'autel avait pour longueur une unité, quelle devait être la longueur de l'arête du nouvel autel pour que son volume soit le double de celui de l'autel initial ?
(à 0,01 près).
.
Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.
Si on appelle
la nouvelle arête, alors le volume du cube d'arête
doit être 2 fois celui du cube d'arête 1.
Écrire l'équation que doit vérifier
puis essayer de la résoudre.
On considère la fonction cube
définie sur [ 0 ;
[ par
.
Combien le nombre 2 a-t-il d'antécédents ?
Comment nommer et noter la fonction qui associe à chaque nombre réel positif, son antécédent par la fonction cube ?
Tracer la courbe de la fonction
et éventuellement de sa fonction réciproque.
En déduire une valeur approchée du nombre cherché.
Rentrer la fonction
définie sur
par
dans la calculatrice
Avec le tableau de valeurs de la calculatrice, encadrer l'antécédent de 2 avec un pas de plus en plus petit.
Le nombre recherché est compris entre
et
.
Réaliser un programme qui calcule la moyenne
de
et
, puis calcule
pour déterminer si le nombre cherché est entre
et
ou entre
et
, puis remplace
ou
par
pour donner un meilleur encadrement du nombre cherché.
Réaliser une boucle pour répéter l'opération jusqu'à obtenir la précision cherchée, c'est-à-dire que la différence
soit suffisamment petite.
Exemples d'exposants rationnels
Dans le cas du problème la duplication du cube, on cherche un nombre
tel que
. Ce nombre est noté
.
Mais supposons qu'on le note comme une puissance de 2 soit
.
Alors, en appliquant les règles des puissances, on doit avoir :
.
Ainsi
donc
. Autrement dit
.
On va démontrer sur des cas particuliers que les formules des puissances s'appliquent aussi à des exposants rationnels.
N° 1/2
.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance 3.
=
=
et
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
=
=
.
N° 1/2
.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance .
=
et
=
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
=
.
N° 1/2
.>
C
Démontrons que les nombres
et
sont égaux.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance .
=
=
=
et
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
.
Démonstrations sur les exposants rationnels
Soit
un nombre réel positif et
un entier strictement positif, il existe un unique nombre réel
strictement positif tel que
.
Ce nombre est noté
mais on le note aussi
.
On a ainsi :
.
Ce qui est cohérent avec les règles habituelles des puissances.
On va démontrer dans le cas général que les formules des puissances s'appliquent aussi à des exposants rationnels. (5 démonstrations).
N° 1/2
.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance
.
=
=
et
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
=
=
.
N° 1/2
.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance
.
=
et
=
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
.
N° 1/2
.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance
.
=
=
=
et
=
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
.
N° 1/2
.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance
.
=
=
et
=
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
=
=
.
N° 1/2
.
N° 2/2
Pour cela, on élève
et
à la puissance
.
=
=
et
=
=
=
.
Comme
et
sont deux nombres réels positifs et que
, on en déduit que
.
Autrement dit
=
=
.
Exposants irrationnels
Peut-on définir ?
Sachant que
, on va essayer d'encadrer .
Déterminer deux entiers consécutifs
et
tels que :
=
et
=
.
Déterminer deux entiers consécutifs
et
tels que :
=
et
=
.
Déterminer deux entiers consécutifs
et
tels que :
=
et
=
.
La musique
La gamme tempérée est constituée de 12 notes en montant de demi-ton en demi-ton :
Après la note SI, on recommence une nouvelle octave à DO.
Pour distinguer les notes des octaves distinctes, on écrit DO1 puis DO2, DO3, DO4...
Ainsi LA3 est compris entre DO3 et DO4.
On sait que la fréquence double chaque fois qu'on monte d'une octave.
Par exemple, le LA3 de la 3ème octave a pour fréquence 440 Hz et le LA4 a pour fréquence 880 Hz.
Pour passer d'une note à la suivante, un demi-ton plus haut, on multiplie la fréquence toujours par le même nombre.
Quel est le coefficient multiplicateur qui permet de passer d'une note à la suivante, un demi-ton plus haut ?
(à 0,0001 près).
.
Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.
De la note La3 à LA4, la fréquence est multipliée par 2.
De la note LA3 à RE#, puis de RE# à LA4, la fréquence est multipliée par le même nombre
.
Quelle équation vérifie ce nombre
? Quelle est la valeur exacte de
? et sa valeur approchée ?
On appelle
le nombre par lequel il faut multiplier la fréquence de LA3 pour obtenir celle de DO4.
Quelle équation vérifie ce nombre
? Quelle est la valeur exacte de
? et sa valeur approchée ?
On appelle
le nombre par lequel il faut multiplier la fréquence de LA3 pour obtenir celle de LA#.
Quelle équation vérifie ce nombre
? Quelle est la valeur exacte de
? et sa valeur approchée ?
On peut appeler
le nombre par lequel est multiplié la fréquence lorsqu'on monte d'un demi-ton.
Quelle équation vérifie
?
On considère la fonction
définie sur [ 0 ;
[ par
.
Combien le nombre 2 a-t-il d'antécédents ?
Comment nommer et noter la fonction qui associe à chaque nombre réel positif, son antécédent par la fonction
?
Tracer la courbe de la fonction
et éventuellement de sa fonction réciproque.
En déduire une valeur approchée du nombre cherché.
Rentrer la fonction
définie sur
par
dans la calculatrice.
Avec le tableau de valeurs de la calculatrice, encadrer l'antécédent de 2 avec un pas de plus en plus petit.
Le nombre recherché est compris entre
et
.
Réaliser un programme qui calcule la moyenne
de
et
, puis calcule
pour déterminer si le nombre cherché est entre
et
ou entre
et
, puis remplace
ou
par
pour donner un meilleur encadrement du nombre cherché.
Réaliser une boucle pour répéter l'opération jusqu'à obtenir la précision cherchée, c'est-à-dire que la différence
soit suffisamment petite.
Le placement d'Adrien
Adrien a placé € sur un compte à intérêts composés à % par an.
Cela signifie qu'au bout d'un an, il touchera % d'intérêts qui seront ajoutés à son capital, et l'année suivante, il touchera % d'intérêts non seulement sur les €, mais aussi sur les intérêts obtenus la première année.
Supposons que les intérêts soient calculés et ajoutés chaque trimestre.
% (arrondir à 0,01 % près).
Le taux annuel moyen
En 5 ans, la valeur d'une action est passée de € à €.
% (arrondir à 0,1 % près).
En 5 ans, la valeur d'une voiture a diminué de € à €.
% (arrondir à 0,1 % près).
Le taux mensuel moyen de Bastien
Bastien a placé € sur un compte à intérêt composé à % par an.
Cela signifie qu'au bout d'un an, il touchera % d'intérêts qui seront ajoutés à son capital, et l'année suivante, il touchera % d'intérêts non seulement sur les €, mais aussi sur les intérêts obtenus la première année.
Supposons que les intérêts soient calculés et ajoutés chaque mois.
% (arrondir à 0,01 % près).
Taux annuel
Chaque trimestre les ventes de % par rapport au trimestre précédent.
% (à 0,1 % près).
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