Modéliser avec la fonction affine
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 24 exercices sur les fonctions affines et suites arithmétiques.
L'idée est de proposer plusieurs méthodes pour résoudre un problème et d'inciter les élèves à les comparer
puis de mettre l'accent sur les tableaux de valeurs et les graphiques.
Les suites arithmétiques apparaissent comme un cas particulier repérable par leur mode de génération,
la raison de la suite correspondant au coefficient directeur.
Le problème "Coût d'un lot de savons" propose ainsi plusieurs méthodes avec des personnages
que l'on retrouvera
dans d'autres problèmes de ce module "Le meilleur tarif" "La vedette de Bréhat".
Fonction affine d'après un graphique
Quelle est la formule de la fonction affine représentée par la droite D en ci-dessous ?
Votre réponse.
.
Nombre de clients en attente 2
Un jour clients attendent la première à h.
Il y a une chaque . Chaque prend personnes et un limite strictement l'entrée à ce nombre. Mais il arrive nouvelles personnes à l'entrée chaque jusqu'à h.
On note
l'heure où la
-ième avec
et
. On note
le nombre de personnes qui attendent à l'entrée la
-ième ; ainsi
.
A quelle heure la
ième c'est-à-dire
?
h (heure décimale)
.
personnes.
Voir dans l'indication un dessin pour comprendre la situation et des conseils de méthode.
Fonctions affines et proportionnalité des écarts
Il s'agit de reconstituer la démonstration de la propriété :
Si une fonction
définie sur
est affine alors les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
.
Et démontrer aussi la réciproque :
Si pour une fonction
définie sur
, les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
alors la fonction
est affine.
Rappelons que
est l'ensemble des nombres réels c'est-à-dire et précisons les définitions.
Une fonction
définie sur
est affine signifie qu'il existe deux nombres réels
et
tels que pour tous les nombres réels
,
.
Pour une fonction
définie sur
, les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
signifie qu'il existe un nombre réel
tel que pour tous les nombres réels
et
,
.
Compléter les démonstrations suivantes en utilisant l'une des deux expressions situées en dessous :
Soit
une fonction affine définie sur , alors
et
tels que
,
.
En particulier,
et
,
et
donc
.
Ainsi en prenant
, on peut affirmer que
tel que
et
,
.
Ceci démontre que :
Si une fonction
définie sur
est affine alors les écarts sur ses images
par
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
.
Réciproquement :
Soit
une fonction définie sur
telle que les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
.
Alors
tel que
et
,
.
En particulier,
et 0,
donc
.
Ainsi en prenant
et
, on peut affirmer que
et
tels que
,
.
Ceci démontre que :
Si pour une fonction
définie sur
, les écarts sur ses images
sont proportionnels aux écarts sur ses antécédents
alors la fonction
est affine.
Trouver les opérateurs et résoudre une équation 2
Placer les opérations dans les cases :
Trouver les opérations réciproques :
On veut résoudre l'équation = c'est-à-dire retrouver l'antécédent de .
=
=
=
Autrement dit : L'équation = équivaut à :
=
=
Trouver les opérateurs et résoudre une équation
Placer les opérations dans les cases pour obtenir
en deux étapes :
Trouver les opérations réciproques :
On veut résoudre l'équation
c'est-à-dire retrouver l'antécédent de .
=
=
=
Autrement dit : L'équation
équivaut à :
Coût d'un lot de savons
Pour un achat par correspondance de savons parfumés, on paye un prix fixe pour l'envoi par la Poste et un prix proportionnel au nombre de savons.
Le prix total pour savons est euros et pour savons, il est de euros.
Quel est le prix pour la commande de savons ?
Quel est le prix pour la commande de
savons ?
Le prix total pour savons (soit + ) est :
euros.
Compléter la dernière colonne du tableau et écrire la formule en dessous.
coût €
coût €
€
€
€
€
€
Compléter le schéma où
est le prix d'un savon et
le prix de l'envoi par la Poste.
Calculer de combien augmente le nombre de savons entre et ? et le prix ?
Entre et , le nombre de savons augmente de et on peut ainsi calculer le prix de savons.
=
+
+
+
=
+
+
+ ?
=
Connaissant le coût supplémentaire pour savons, on en déduit que le prix supplémentaire pour chaque savon est :
€.
On peut maintenant déduire le prix de
savons par rapport à celui de savons.
=
+
+
+
*
= ?
Compléter le tableau.
+
Nombre de savons
0
Prix total
(prix du transport)
+
Entre et , de combien augmente le nombre de savons ? et le prix ? En déduire le prix de savons, soit + savons.
Connaissant le prix supplémentaire pour savons, il est facile de trouver que le prix supplémentaire pour un savon est :
€ et en déduire le prix de savons puis le prix du transport.
Si on achète en tout
savons, le coût supplémentaire par rapport au prix de savons est :
* (
) €.
Ce qui donne au total :
Recopier le graphique ci-dessous où le point A a pour coordonnées (;) et B (;). La fonction qui à
savons associe le coût de la commande est une fonction affine. Sa courbe est la droite (AB) et son coefficient directeur est :
=
/
=
Ce qui représente l'écart du coût divisé par l'écart du nombre de savons, autrement dit le coût d'un savon supplémentaire. Par ailleurs, si on commande savons, soit + , le prix est :
€euro; La première information nous permet d'écrire :
+
= Quel est l'ordonnée à l'origine
?
Elle représente le coût du transport.
On cherche le prix de chaque savon
et celui du transport
.
Les données se traduisent par les équations :
+
=
+
=
Pour résoudre ce système de deux équations, on peut soustraire la première équation à la deuxième.
+
=
=
_____________
__
___
___
_______________
+
0
=
=
Substituer la valeur de
à
dans la première équation pour en déduire
.
Vous pouvez écrire l'opération ou le résultat, utilisez * pour multiplier, / pour diviser et écrire les nombres décimaux avec un point à la place de la virgule. Par exemple,
+4,25 s'écrit 7*21/3+4.25
Coût d'un lot d'objets
Pour un achat de par correspondance, on paye un prix fixe pour l'envoi par la Poste et un prix proportionnel au nombre de . Le prix total pour est € et pour , il est de €.
€.
€.
€.
€.
Coût d'une quantité variable continue
La facture comporte un prix fixe pour et un prix proportionnel à la quantité . Le prix total pour est € et pour , il est de €.
?
€
€
€.
:
€
Décomposer et résoudre une équation
Décomposer
.
Trouver les opérations réciproques :
On veut résoudre l'équation
c'est-à-dire retrouver l'antécédent de .
Autrement dit l'équation
équivaut à :
Trouver une fonction affine 1
On considère la fonction affine
telle que :
et
Le coefficient directeur de
est bien . Compléter :
)
Déterminer la fonction affine
en développant :
Le meilleur tarif
Deux entreprises : "Petit Avion" (PA) et "Grand Train" (GT) proposent leurs tarifs pour fournir des tee-shirts à une association. PA fournit les tee-shirts à € pièce et facture € les frais de transport de l'ensemble des tee-shirts. GT fournit les tee-shirts à € pièce et facture € les frais de transport. Le but de l'exercice est de savoir pour combien de tee-shirts l'entreprise PA coûte moins cher que GT pour l'association.
Il s'agit de réaliser le graphique sur une feuille.
L'association achètera au maximum tee-shirts et le coût sera certainement inférieur à €.
€
Le prix pour tee-shirts avec PA est : €
€
Ces informations permettent de réaliser le graphique.
Le graphique doit se présenter comme ceci :
Il reste à tracer les droites qui représentent les coûts de PA et GT en fonction du nombre de tee-shirts, en joignant les points de coordonnées (0;) à (;) et de (0;) à (;).
On note
et
le coût de
tee-shirts, transport compris, respectivement pour PA et GT.
Le prix total pour
tee-shirts avec PA est
€
Le prix total pour
tee-shirts avec GT est
€
L'équation
équivaut à :
L'équation
équivaut à
=
et
L'association achètera au maximum tee-shirts et le coût sera certainement inférieur à €.
:
€
:
€
Il est pratique d'utiliser le tableau de valeurs de la calculatrice pour déterminer les valeurs ci-dessus.
Entrer dans la calculatrice les fonctions :
et
Définir la fenêtre :
Xmin=0
Xmax=
Ymin=0
Ymax=
Afficher le graphique pour comparer les tarifs. On peut utiliser le tableau de valeurs de la calculatrice pour comparer les tarifs de façon précise.
L'inéquation
équivaut à :
L'inéquation
équivaut à
.
Rencontre de trains 1
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de km.
Le train N°1 part de Arnes à h et arrive à Buluc h min.
Le train N°2 part de Buluc à h min et arrive à Arnes h min.
A quel instant les deux trains se croiseront-ils ? Réponse :
h
Rencontre de trains 2
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de km.
Le train N°1 part de Arnes à h et arrive à Buluc h min.
Le train N°2 part de Buluc à h min et arrive à Arnes h min.
A quel instant les deux trains se croiseront-ils ? Réponse :
h
A quelle distance de Arnes se croiseront-ils ? Réponse :
km de Arnes.
Rencontre de trains 3
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de km.
Le train N°1 part de Arnes à h min et arrive à Buluc h min à la vitesse de km/min.
Le train N°2 part de Buluc à h min et arrive à Arnes h min à la vitesse de km/min.
A quelle heure les deux trains se croiseront-ils (à 5 minutes près) ?
Réponse :
h
A quelle distance de Arnes se croiseront-ils (à 5 km près) ?
Réponse :
km de Arnes.
Rencontre de trains 4
Les villes Arnes et Buluc sont distantes de km.
Le train N°1 part de Arnes vers Buluc à h à la vitesse de km/h.
Le train N°2 part de Buluc vers Arnes à h à la vitesse de km/h.
Donner l'expression de la distance en km de chaque train par rapport à Arnes, en fonction du nombre
de minutes écoulées depuis h.
pour le train 1.
pour le train 2.
A quel instant les deux trains se croiseront-ils ?
h
Tableau de valeurs pour un achat par correspondance
Pour un achat par correspondance de , on paye un certain prix fixe pour le transport et un prix proportionnel au nombre de .
Un lot de coûte €, et un lot de coûte €.
Compléter le tableau suivant (le prix du transport correspond à un achat de 0 objet):
Tableau de valeurs d'une fonction affine 1
Tableau de valeurs d'une fonction affine 2
Tableau de valeurs d'une fonction affine 3
Numéro d'un contrôle
Tous les ans, .
Répondre par un nombre entier.
La vedette de Bréhat
Un jour clients attendent la première vedette pour l'île de Bréhat à h.
Il y a une vedette chaque demi-heure. Chaque vedette prend personnes et un matelot limite strictement l'entrée à ce nombre. Mais il arrive nouvelles personnes à l'entrée chaque demi-heure jusqu'à h.
On note
l'heure où la
-ième vedette arrive avec
et
. On note
le nombre de personnes qui attendent à l'entrée la
-ième vedette ; ainsi
.
Voici les questions de ce problème :
A quelle heure arrive la
ième vedette c'est-à-dire
?
Quel est le numéro d'ordre de la vedette qui arrive à h ?
Quelle est la nature de la suite
et sa raison ?
Combien de personnes attendent à l'entrée la vedette qui arrive à h ?
Voici l'aide pour la méthode .
Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.
Complétez les flèches au brouillon avec les données du problème. Ceci aide à répondre à la question 3.
Réaliser un tableau comme celui-ci au brouillon ou sur un tableur et le compléter.
Il est facile de déterminer la raison de chacune des suites
et
. Mais attention l'indice de départ est ici
.
La formule générale classique utilise la valeur d'indice 0 qui n'a pas de sens ici.
On peut :
soit calculer les valeurs fictives de
et
,
soit utiliser la formule
.
Répondre maintenant aux questions :
h (heure décimale).
.
.
personnes.
La vedette de Bréhat 2
Un jour clients attendent la première vedette pour l'île de Bréhat à h.
Il y a une vedette chaque demi-heure. Chaque vedette prend personnes et un matelot limite strictement l'entrée à ce nombre. Mais il arrive nouvelles personnes à l'entrée chaque demi-heure jusqu'à h.
On note
l'heure où la
-ième vedette arrive avec
et
. On note
le nombre de personnes qui attendent à l'entrée la
-ième vedette ; ainsi
.
Voici les questions de ce problème :
A quelle heure arrive la
ième vedette c'est-à-dire
?
Quel est le numéro d'ordre de la vedette qui arrive à h ?
Quelle est la nature de la suite
et sa raison ?
Combien de personnes attendent à l'entrée la vedette qui arrive à h ?
h (heure décimale).
.
.
personnes.
Voici l'aide pour la méthode .
Un dessin comme celui-ci aide à comprendre l'énoncé.
Complétez les flèches au brouillon avec les données du problème. Ceci aide à répondre à la question 3.
Réaliser un tableau comme celui-ci au brouillon ou sur un tableur et le compléter.
Il est facile de déterminer la raison de chacune des suites
et
. Mais attention l'indice de départ est ici
.
La formule générale classique utilise la valeur d'indice 0 qui n'a pas de sens ici.
On peut :
soit calculer les valeurs fictives de
et
,
soit utiliser la formule
.
Choisir ensuite soit une autre aide soit de répondre aux questions.
Coût d'un lot de voitures miniatures
Pour un achat par correspondance de voitures miniatures, on paye un prix fixe pour l'envoi par la Poste et un prix proportionnel au nombre de voitures.
Le prix total pour voitures miniatures euros et pour , il est de euros.
Entre et ,
et
euros.
euros.
euros.
(
) euros.
(
) + euros.
+
euros.
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, alors
et
tels que
,
.