Ensemble de définition d'une fonction

Ensemble de définition d'une fonction


Voici quelques exemples d'ensemble de définition, notion qui est évoquée dans le programme de seconde.

I Ensemble de définition d'une fonction : définition

II Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

I Ensemble de définition d'une fonction : définition

Définition

L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction f est appelé ensemble de définition de la fonction f. De façon formelle, soit f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de f est l'ensemble des réels x pour lesquels l'image f(x) existe ou pour lesquels f(x) a un sens.
L'ensemble de définition d'une fonction f est souvent noté Df.

Exemple

Soit f la fonction de la variable réelle x définie par f(x)=2x+1. Son ensemble de définition est ℝ.

Exemple

Un melon coûte 2 euros pièce. On désigne par p la fonction qui associe à un nombre x le prix p(x) de x melons. L'ensemble de définition de p est ℕ car on ne vend ici que des melons entiers et la formule pour la fonction p est p(x)=2x.

Découverte : Correspondance

II Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction

Voici quelques aides pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.

II-1 Intervalles

II-2 Fonction affine

II-3 Fonction trinôme

II-4 Fonction quotient

II-5 Fonction racine carrée

II-1 Intervalles


Les ensembles de définition sont souvent des intervalles ou des réunions d'intervalles. L'écriture des réunions d'intervalles obéit à quelques règles simples. Elles sont explicitées dans l'aide de l'exercice 2 de cette page par son auteur Véronique Royer. Nous les rappelons ici.
  1. Les intervalles doivent être maximaux.
  2. Les intervalles doivent être deux à deux disjoints.
  3. Leur écriture doit suivre l'ordre des réels.

Exemple

L'écriture attendue de E=ℝ * est E=]−∞,0[∪]0,+∞[.
  • On pourrait écrire : E=]−∞,6[∪[6,0[∪]0,+∞[ mais dans cette écriture les intervalles ne sont pas tous maximaux.
  • On a également : E=]−∞,7]∪[6,0[∪]0,+∞[ mais avec cette écriture les intervalles ne sont pas tous deux à deux disjoints.
  • Dans l'égalité : E=]0,+∞[∪]−∞,0[, l'écriture ne reflète pas l'ordre des réels (par convention on écrit les plus petits nombres à gauche des plus grands).

Pour réviser :
  • Ecriture des intervalles (1)
  • Ecriture des intervalles (2)

II-2 Fonction affine

Une fonction affine est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est ℝ.

Exemple

La fonction f de la variable réelle x définie par f(x)=5x+3 a pour ensemble de définition ℝ.

Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une fonction affine

II-3 Fonction trinôme

Une fonction trinôme est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est ℝ.

Exemple

La fonction g de la variable réelle x définie par g(x)=−x 2+5x−7 a pour ensemble de définition ℝ.
Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-3 Fonction trinôme

II-4 Fonction quotient

Si la formule qui permet de calculer l'image f(x) du réel x contient un quotient, on doit exclure de l'ensemble de définition Df les valeurs qui annulent le dénominateur de ce quotient. En effet, le quotient par zéro n'est pas défini.

Exemple


Soit f la fonction de la variable réelle x définie par f(x)=.

Elle est définie quand son dénominateur n'est pas nul, c'est-à-dire pour tous les x différents de 1 et seulement ceux-là. L'ensemble de définition de la fonction f est

Df=]−∞,1[ cup ]1,+∞[


Pour s'entraîner :
  • Ensemble de définition d'un quotient , première étape.
  • Ensemble de définition d'un quotient , par étapes.
  • Ensemble de définition d'un quotient , sans étape intermédiaire.
Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-4 Fonction quotient

II-5 Fonction racine carrée

Si la formule qui permet de calculer l'image f(x) du réel x contient une racine carrée, l'ensemble de définition Df ne contient que les valeurs pour lesquelles la quantité sous la racine carrée est positive ou nulle. En effet, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.

Exemple


Soit f une fonction de la variable réelle x définie par f(x)=8x+32.

La fonction est définie pour tous les x tels que est positif ou nul et seulement pour ceux-ci.
La quantité est positive ou nulle si et seulement si 8x est supérieur ou égal à −32. Comme le coefficient de x est positif, cette inégalité est équivalente à x≥−4.

≥0⇔8x≥−32⇔x≥−4

Sur la figure, on a tracé le graphe de la fonction g définie de ℝ dans ℝ par g(x)=. L'ensemble des x tels que est positif ou nul est représenté en vert.

Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une racine carrée
Ensemble de définition d'une fonction → II Exemples → II-5 Fonction racine carrée

définition et exemples pour la classe de seconde.
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