Résolution d'équations

I Égalité
II Équation
III Problème

Sur la résolution des équations de base

I Égalité

II Équation

III Problème

I Égalité

I Égalité
II Équation
III Problème

Définition [Égalité]

Une égalité est une phrase mathématique dans laquelle il y a un signe égal. Cette égalité peut être vraie ou fausse.

Exemple

Soit $t$ la taille du professeur. L'égalité $t = 184$ cm est vraie !
Soit $m$ la masse du professeur. L'égalité $m = 24$ kg est (heureusement) fausse.

Une égalité peut être écrite avec un nombre inconnu, le plus souvent désigné par une lettre, par exemple

6 x + 15 = 11 x

. Tester l'égalité, c'est regarder si l'égalité est vraie pour une valeur particulière donnée à

x

Exemple [ ]

Gardons l'équation ci-dessus :

6 x + 15 = 11 x

. L'égalité est-elle vraie si

x = 5

? si

x = 3

Quand $x = 5$ , on donne 5 comme valeur particulière de $x$ dans l'égalité précédente. On calcule séparément la valeur des membres de gauche et de droite de l'égalité avec cette valeur particulière.
$6 x + 15 = 6 \times 5 + 15$ , soit 45 et pour l'autre membre, $11 x = 11 \times 5$ soit 55. Les nombres 45 et 55 ne sont pas égaux donc l'égalité est fausse pour $x = 5$ . On dit aussi que 5 n'est pas solution de l'équation.
Faisons le même travail pour $x = 3$ .
Pour le membre de gauche : $6 x + 15 = 6 \times 3 + 15$ soit 33. Et pour l'autre membre, $11 x = 11 \times 3$ soit 33. Quand $x = 3$ , les deux membres sont égaux ; on dit que 3 est solution de l'équation. Mais qu'est-ce qu'une équation ?

Résolution d'équations → I Égalité

Définition [Équation]

Une équation est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu désigné par une lettre.

Définition [Résoudre une équation]

Résoudre une équation, c'est déterminer la valeur (ou les valeurs) que doit prendre cette inconnue pour que l'égalité soit vérifiée.

Exercice

[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 0$ soit vraie ?
[ $•$ ] Quelles valeurs peut-on donner à $x$ pour que l'équation $0 \times x = 1$ soit vraie ?

Solution

On peut donner n'importe quelle valeur, il y a une infinité de solution. Plus tard dans la scolarité, on verra d'autres équations qui ont 2, 3 ... solutions.
Il n'y a pas de solution !

On une équation comme le montre les exemples suivants, en retenant les règles générales ci-après :

Proposition

On ne change pas les solutions d'une équation quand :

On additionne un même nombre à ses deux membres ;
On soustrait un même nombre à ses deux membres ;
On multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;
On divise par un même nombre non nul les deux membres de l'équation ;

II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

Résolution d'équations → II Équation

II-1 Premier exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

l - 15 = 19

, on procède ainsi :

\begin{matrix} l - 15 & = & 19 \\ l - 15 + 15 & = & 19 + 15 \\ l & = & 34 \end{matrix}

La solution de l'équation est

l = 34

Résolution d'équations → II Équation → II-1 Premier exemple

II-2 Deuxième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

t + 3 = 19

, on procède ainsi :

\begin{matrix} t + 3 & = & 19 \\ t + 3 - 3 & = & 19 - 3 \\ t & = & 16 \end{matrix}

La solution de l'équation est

t = 16

Résolution d'équations → II Équation → II-2 Deuxième exemple

II-3 Troisième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

2 a = 30

, on procède ainsi :

\begin{matrix} 2 a & = & 30 \\ \frac{2 a}{2} & = & \frac{30}{2} \\ a & = & 15 \end{matrix}

La solution de l'équation est

a = 15

Résolution d'équations → II Équation → II-3 Troisième exemple

II-4 Quatrième exemple

I Égalité
II Équation
III Problème

On veut résoudre l'équation

\frac{z}{6} = 13

, on procède ainsi :

\begin{matrix} \frac{z}{6} & = & 13 \\ \frac{z}{6} \times 6 & = & 13 \times 6 \\ z & = & 78 \end{matrix}

La solution de l'équation est

z = 78

Résolution d'équations → II Équation → II-4 Quatrième exemple

III Problème

I Égalité
II Équation
III Problème

Il y a trois étapes à respecter pour la rédaction des résolutions des problèmes :

Si elle n'est pas imposée par l'énoncé, le choix de l'inconnue. Généralement, soit $x$ ce que l'on cherche .
Mise en équation du problème et sa résolution.
Conclusion par une phrase au problème posé.

Exercice

Le père d'Augustin a sept fois l'âge de son fils et si l'on ajoute 4 à la somme de leur âge, on trouve un 60.

Solution

Choix de l'inconnue Soit $x$ l'âge d'Augustin.
- Mise en équation Le père d'Augustin a sept fois son âge, donc son âge est de : $7 x$ ;
  La somme de leur âge est donc de $7 x + x = 8 x$ .
  Si on ajoute 4 à la somme de leur âge, on trouve 60, d'où l'équation $8 x + 4 = 60$
- Résolution
  $\begin{matrix} 8 x + 4 & = & 60 \\ 8 x & = & 60 - 4 \\ 8 x & = & 56 \\ x & = & \frac{56}{8} \\ x & = & 7 \end{matrix}$
Augustin a donc 7 ans. (Bonus : son père a 49 ans !)

Résolution d'équations → III Problème

document sur la signification d'une équation et sur sa résolution (niveau élémentaire).
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