Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
• III Simplification d'écriture
• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Sur les expressions numériques.

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

I Expression sans parenthèses

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
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• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

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• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$64.2-37.4+16.2-11.5$
$A$	=	$26.8+16.2-11.5$
$A$	=	$43-11.5$
$A$	=	$31.5$

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I-2 Priorité de la multiplication

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Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$166+8\times 13$
$A$	=	$166+104$
$A$	=	$270$

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$124\times 10+7\times 9$
$A$	=	$1240+63$
$A$	=	$1303$

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.

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II Expression avec parenthèses

• I Expression sans parenthèses
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  • I-2 Priorité de la multiplication
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• IV Distributivité
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Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$345+(30+11)\times 8$
$A$	=	$345+41\times 8$
$A$	=	$345+328$
$A$	=	$673$

Remarque

Comme pour le calcul de $A$, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression $B$]

$B$	=	$3\times (12+(10-6))$
$B$	=	$3\times (12+4)$
$B$	=	$3\times 16$
$B$	=	$48$

Remarque

Comme pour le calcul de $B$, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression $C$]

$C$	=	$278-(16+4\times 2)\times 11$
$C$	=	$278-(16+8)\times 11$
$C$	=	$278-(24)\times 11$
$C$	=	$278-264$
$C$	=	$14$

Remarque

Comme pour le calcul de $C$, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.

Sur les expressions numériques → II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

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Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( ) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

1. Le produit $10\times l$ peut s'écrire $10l$ ;
2. le produit $l\times s$ peut s'écrire $ls$ ;
3. le produit $15\times (s+10)$ peut s'écrire $15(s+10)$. On dit $15$ facteur de $s+10$ ;
4. le produit $10\times (l-15)$ peut s'écrire $10(l-15)$. On dit $10$ facteur de $l-15$;
5. le produit $l\times l$ peut s'écrire $l^2$. On dit $l$ au carré. De même on a $10\times 10={10}^2$ ce qui vaut $100$.

Remarque [Attention]

Le signe est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, $10\times 15$ ne s'écrit pas $1015$ puisque cela vaut $150$.

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IV Distributivité

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IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

Sur les expressions numériques → IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

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  • IV-2 Développer
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Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

$\begin{array}{ccc}k(a+b)& =& ka+kb\\ k(a-b)& =& ka-kb\end{array}$

$\begin{array}{ccc}(a+b)k& =& ak+bk\\ (a-b)k& =& ak-bk\end{array}$

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer $A$]

$A$	=	$16\times (22+12)$
$A$	=	$16\times 22+16\times 12$
$A$	=	$352+192$
$A$	=	$544$
$A$	=	$16\times (22+12)$
$A$	=	$16\times 34$
$A$	=	$544$

Exemple [Calculer $B$]

$B$	=	$20\times 12+9\times 12$
$B$	=	$(20+9)\times 12$
$B$	=	$29\times 12$
$B$	=	$348$
$B$	=	$20\times 12+9\times 12$
$B$	=	$240+108$
$B$	=	$348$

Un côté du rectangle rouge mesure $a$. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure $k$. L'autre côté du rectangle bleu mesure $b$.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont $k$ et $a+b$.

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IV-2 Développer, factoriser

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• IV Distributivité
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• V Distributivité et calcul mental

On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :

1. pour développer :
   
   $15\times (13-12)$ = $15\times 13-15\times 12$
2. pour factoriser :
   
   $9\times 13+9\times 4=9\times (13+4)$

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V Distributivité et calcul mental

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• V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons $A$]

$A$	=	$242\times 7$
$A$	=	$242\times (10-3)$
$A$	=	$242\times 10-242\times 3$
$A$	=	$2420-726$
$A$	=	$3146$

Exemple [Calculons $B$]

$B$	=	$6\times 2220+4\times 2220$
$B$	=	$2220\times (4+6)$
$B$	=	$2220\times 10$
$B$	=	$22200$

Sur les expressions numériques → V Distributivité et calcul mental

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